第3章双轮平衡车的数学建模与分析
控制器都是基于数学模型设计的，因此在设计控制器之前要先建立控制对象的数学模型。本章首先分析两轮自平衡机器人的运动学，弄懂它的平衡控制原理，之后基于牛顿力学方程建立动力学模型，在得到了非线性数学模型后，在接近平衡点的小角度内，采用基于泰勒级数的近似线性化方法，对其线性化，并对系统的稳定性、能观性和能控性等进行分析。
3.1双轮平衡车的运动分析
因为双轮平衡车是一个不稳定系统，如果不对它加以控制，不能够稳定站立，更不可能直立行走。双轮平衡车有三种运动状态：静止、前进和后仰，要想让它稳定行走就要选择合理的控制策略，控制电机的输出转矩，使小车的两轮在三种不同的状态下分别做出相应的动作，保持自身的平衡。这三种运动状态如图3.1所示。
后仰静止前倾
图3.1双轮平衡车三种状态示意图
1．后仰状态：小车重心在电机轴心线的后方，小车会向后倾倒，为了保证车身的平衡，就要输出控制信号驱动车轮也向后转动。
2．静止状态：小车的重心在电机轴心线的正上方，小车处于稳定状态，此时控制器输出应该为零，不需要做任何控制就可保持机器人平衡。
3．前倾状态：小车的重心在电机轴心线的前方，机器人会向前倾倒，为了保证车身的平衡，就要输出控制信号驱动车轮也向前转动。
综上所述，控制双轮平衡车稳定的基本思路是：当小车在运动过程中有向前或者向后倾斜的趋势时，陀螺仪和倾角器分别检测到车体的角速度和倾角角度，然后把这些信号传递给控制器，经过运算和处理产生对应的控制力矩，作用在两个直流电机上，控制车轮向车体倾斜的方向运动，就可以保证小车处于的平衡状态。
3.2自平衡机器人的动力学模型
3.2.1相关参数介绍
图3.2和图3.3分别为双轮平衡车的俯视图和正视图，平衡车左右两轮由电机分别独立驱动，安装在同一轴线上，可绕电机转轴自由转动，由于平衡车体重心在电机转轴的上方，类似于倒立摆，是一个不稳定系统，如果不对平衡车进行控制，车体将会倾倒。
图3.2双轮平衡车俯视图图3.3双轮平衡车正视图
以双轮平衡车两轮圆心连线的中心为坐标原点建立O-XYZ坐标系，两轮圆心连线的向外放心为X轴方向，表示机器人的前进方向，即水平方向，Y轴方向与机器人前进的方向垂直，垂直地面向上，Z轴为小车两轮圆心连线所在方向，图3.4所示为双轮平衡车力学分析简图
图3.4双轮平衡车力学分析简图
表3.1双轮平衡车的变量及相关参数
R
车轮的半径
m
车轮的质量
D
两个车轮之间的距离
M
双轮平衡车车体质量
L
双轮平衡车车体质心到z轴的距离
J
双轮平衡车车轮对转轴的转动惯量
J
双轮平衡车车体对y轴的转动惯量
J
双轮平衡车车体对z轴的转动惯量
θ
双轮平衡车车体与y轴的夹角
ω
双轮平衡车车体与y轴的夹角角速度
δ
双轮平衡车车体与x轴的夹角
χ
左、右车轮位移
f
左、右车轮与地面之间的摩擦力
H
左、右车轮与机器人车体相互作用力在x轴的分量
V
左、右车轮与机器人车体相互作用力在y轴的分量
C
左、右电机输出转矩
C
解耦后子系统1和子系统2输入转矩
C
两自由度模型左、右电机输出转矩
χ
两轮轴中点位移
χ
双轮平衡车车体质心分别在x轴和y轴上的位移
T
双轮平衡车车体的转动动能
T
双轮平衡车车体的平动动能
T
双轮平衡车车轮的转动动能
T
双轮平衡车车轮的平动动能
T
系统的总动能
v
双轮平衡车车体平动速度在x轴的分量
v
双轮平衡车车体平动速度在y轴的分量
v
双轮平衡车车体平动速度在z轴的分量
θ
左、右轮分别转过的角度
v
左、右轮线速度
双轮平衡车是一个非常复杂的非线性系统，为了分析简便，我们一般只研究线性系统，要获得非线性系统的线性化模型，在数学建模过程中我们通常做出如下的假设：
1．双轮平衡车体和车轮等都为刚体，并且两个轮子的几何尺寸、材料完全一致；
2．忽略掉双轮平衡车的电机摩擦、电机电枢绕组中的电感和电机空载阻转矩；
3．忽略掉双轮平衡车在运动过程中小车车身和车轮间的摩擦力；
4．忽略掉双轮平衡车的内部能量损耗；
5．忽略掉双轮平衡车车轮和地面间的相对滑动，而且只有滚动没有滑动。
小车的速度、位移、转角以及转角角速度等数值不能通过陀螺仪和倾角器直接测得，但是它们与小车双轮的转角和角速度密切相关，其关系如下式所示。
机器人的位移与其左右两轮转轴的位移关系为：
x=12(xl+xr)
双轮平衡车的转角满足：
δ=1D(xl-
其中：
xl=Rθl
xr=Rθr