57.高三备考中外接球问题中的常见解题模型
外接球问题是全国卷的超高频考点，它对考生的直观想象素养要求很高，是我们复习中必须下大力气备考的考点.
★1．球的截面
若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆：
（1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆；
（2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则.
（3）外接圆半径的计算：常用
例1．（2020全国2卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
A． B． C．1 D．
解析：设球的半径为,则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，
球心到平面的距离.故选：.
注：球的截面性质是我们处理外接球问题的根本思路!
例2．（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
解析：设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，，为等边三角形，由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面,
，
球的表面积.故选：.
球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径.
★2．正方体（长方体）与补形
（1）正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
（2）正四面体：由四个全等\t/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank正三角形围成的空间\t/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank封闭图形，所有\t/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank棱长都相等.正四面体的外接球：补成正方体进行，假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则，如图1所示.
（3）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图2所示
例3．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（???????）
A． B． C． D．
解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，
则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A
例4．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
解：如下图所示，
将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：．
★3．墙角模型.
三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，如下图．
例5．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（???????）
A． B． C． D．
解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，
又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，
即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B.
★4．直棱柱（圆柱）
1.基本定义：
棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直\t/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank棱柱叫做正棱柱.正棱柱是\t/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.
2.外接球球心：
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。
3.计算公式：
设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.
例6．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，
由题，得，所以，外接球表面积
．故答案为：
例7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（????）
A． B． C． D．
解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而平面，因此平面，在等腰中，，则，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即