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河北省张家口市宣化第一中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
已知，，则
A. B.
C. D.
已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
甲、乙两同学进行罚球比赛，罚中得分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为和，且两人的投篮结果相互独立．现甲、乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为
A. B. C. D.
已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为
A.
B.
C.
D.
抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
直三棱柱中，为等边三角形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
下列函数中，在上的值域是的是
A. B.
C. D.
已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为
A. B. C. D.
设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于，两点，且，关于点对称，则下列结论正确的有
A.椭圆的方程为
B.椭圆的焦距为
C.椭圆上存在个点，使得
D.直线的方程为
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
直线恒过定点，则定点坐标为______．
若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______．
如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是??????????．
已知不经过坐标原点的直线与圆：交于，两点，若锐角的面积为，则______，______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，，求边上的中线的长．
已知点、、，，．
若，且，求；
求，；
若与垂直，求．
已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，点在圆上，点在圆外．
求圆的方程；
若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点为棱的中点，．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
已知抛物线上的点到焦点的距离为．
求，的值；
设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
已知直线与椭圆相交于、两点．
若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的标准方程；
若其中为坐标原点，当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值．
答案
DDBBDACA
9.ACD10.AD11.AD12.AD
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】?或
17.【答案】解：由题意可得，
因为，
所以，则，
因为，
所以．
因为．
所以．
因为，
所以，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则．
18.【答案】解：、，
，
，且，
设，且，
解得，
或．
、、，，．
，，
，．
，，
与垂直，
，
解得或．
19.【答案】解：设圆心，则半径，
圆的方程为，
点在圆上，，解得或．
点在圆外，经检验不符，舍去．
圆的方程为；
由可知圆的半径为，又，
圆心到直线的距离．
当不存在时，直线方程为；满足题意；
当存在时，设直线方程为，整理得．
圆心到直线的距离，即，
解得．
直线方程为，即．
综上，直线的方程为或．
20.【答案】证明：由三棱柱的性质，可知四边形为菱形，
又，
为等边三角形，，
又，，，
因为四边形为矩形，，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以向量，，
设平面的法向量为，
则，即
，
又平面的法向量为，
．
平面与平面夹角的余弦值为．
21.【答案】解：由抛物线定义得，，
所以抛物线方程为，代入点，可解得，
故；；
解：设直线的方程为，，，
联立，消得：，则，，
由得：，所以：或舍去，
即，所以直线的方程为，
所以直线过定点．
22.【答案】解又，解得，
则．
椭圆方程为：
由
消去得，
由，整理得．
设，，
则．
．
其中为坐标原点，
，即．
整理得．
，代入上式得
，
．
，
，
，，
，适合条件，
由此得．
，
故长轴长的最大值为