81.抛物线的焦半径与焦点弦必知的八组结论
抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！
一．重要结论
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1.,.
证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.
性质2.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
证明：，则的方程为，整理可得：
，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.
一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
于是，若恒过定点.
性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.
所以，，故．
同理，所以．
性质4.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
由性质3易得，略.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
证明：设坐标为，由抛物线定义：，
故.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
证明：设焦点弦的中点为，则到准线的距离为，由性质5可证得.
性质7.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，则
（1）；
（2）记的面积分别为,,，.
注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.
二．典例分析
例1.（2017年全国1卷）.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为()
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：法1:设,,直线方程为
取方程,得∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
法2:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法4:设点,则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理，所以(当且仅当时等号成立)
法5：可设直线，由抛物线焦点弦的性质3可得：
，故，当且仅当时取到最小值，故选A.
上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.
例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的
直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则直线
的斜率为
A．直线AB的斜率为2 B．
C． D．
解析：选项A：设中点为，则所以所以故
选项B：所以所以
选项C：
选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；
又所以为钝角；
所以.故选ACD.
例3．（2023新高考2卷）．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．
A．
B．
C．以MN为直径的圆与l相切
D．为等腰三角形
解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.
或
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.
??
例4．（湖北省武汉市2025届高三二月调考）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（????）
A．4 B．3 C． D．
解析：（方法1）抛物线的焦点，设直线，点，
由消去得，则，
，即，
，
，则，因此，
所以.故选：A
（方法2）设直线的倾斜角为，由于
所以.故选：A
例5.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（????）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
解析：当时，，此时不妨取过焦点垂直于x轴，
不妨取，则，故A错误；
当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，则，故，
令，则，
令，则???，
当