10.指对“六金花”及其十大应用
本节我们介绍几个重要的函数及其图象和性质，这些函数或是由熟悉的指对函数组合而成.对于第一类由指对函数组合而成的六个重要函数，它们都具有良好的函数性质和图像，是高考考察的重点对象，本节将系统梳理其重要的性质，并通过例题来展示其命题手法.
一．基本原理
上述六个指数或对数函数组合出的新函数及其图象是非常重要的.需要注意的是，对于函数与在处的极限值，需要由洛必达法则来计算，此处计算一个以展示其原理.
，故其图象在处趋近于.
除此之外，还需注意函数与函数的图象在正无穷远的特征，其它们图象都是上去了之后就不再下穿轴.
最后，要注意到与函数之间的基本关系，后者实际上是前者向上平移一个单位得到，在实际应用中，后者出现的频率也相当之高.
下面我们看到有关它们的十大应用，即：
1.图像问题
2.方程根的个数
3.整数解问题
4.恒成立问题
5.凸凹反转
6.比较大小
7.极值点偏移
8.函数同构
9.朗博不等式
10.嵌套函数
1.图像问题
例1．函数的图象大致为（????）
A．?? B．??
C．?? D．??
解析：函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，函数，则，当时，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除D．故选：C
例2．函数的部分图像大致是（????）
A．?? B．??
C．?? D．??
解析：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，
所以的图象关于轴对称，所以排除BC，因为，所以排除D，故选：A
2.方程根的个数
例3.已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解析：（1）函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,在内,单调递增；
在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.
3.整数解问题
例4.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
解析：因为偶函数满足，则，即，
所以，函数是周期为的周期函数，当时，，令，可得.由可得，由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为关于的不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：
??
因为，且，又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，则这五个整数解分别为、、、、，
所以，，即，故选：B.
4.恒成立问题
例5．已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．
解析：①.时，不等式为，不恒成立；
②.时，，令，，由得，
当时，，递增，时，，递减，
∴时，，要使命题成立，则，；
③.时，函数是增函数，在唯一零点，，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，∴，，综上的取值范围是．
5.凸凹反转
凸凹反转是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.于是，这就需要我们熟悉高中阶段常见的六个具有这样特点的函数.关于上述六个函数的性质和图像的应用在之前已经讲过，本节主要的目标就是来展示凸凹反转技巧的基本应用手法和命题技术.
例如在上面六个函数中，我们可以选取凸函数，求导可得：，故可得在上减，上增，于是.
再考虑凹函数，则，故在处取得最大值，即
.这样可得，即，将这个不等式包装一下就得到了下面这道2013年高考真题.
例6.（2013全国卷）设函数，曲线在点处的切线为．
（1）求；
（2）证明：．
解析：（2），从而等价于．设函数，
则，所以当时，；当时，．故在
上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为．
设函数，则．所以当时，；当时，
．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大
值为.由于，所以当时，，即．
例7．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
解析：（2）当时，，下面证，即证，
设，则，在上，，是减函数；在上，
，是增函数．所以.
设，则，在上，，是增函数；在上，，
是减函数，所以.所以，即，所以
，即，即在上恒成立．
注：凸凹反转技巧性较强，是一种命题的好方法，但对于应试的考生而言，技巧性过强而难以掌握，同时，它的使用范围也比较局限.
6.比较大小
例8.若,则（）
A. B.
C. D.
解析:构造函数,则,令,