关于二重积分的概念与性质*第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日*重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取极限.定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间.而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序言第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日*问题的提出二重积分的概念二重积分的性质doubleintegral第一节二重积分的概念
与性质第3页，共41页，星期日，2025年，2月5日*一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的?回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为第4页，共41页，星期日，2025年，2月5日*曲顶柱体体积=特点1．曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).?曲顶顶是曲的第5页，共41页，星期日，2025年，2月5日*柱体体积=特点分析?曲边梯形面积是如何求以直代曲、解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限.底面积×高第6页，共41页，星期日，2025年，2月5日*第7页，共41页，星期日，2025年，2月5日*(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用表示第i个子域的面积).将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点第8页，共41页，星期日，2025年，2月5日*(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限λ)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积第9页，共41页，星期日，2025年，2月5日*2.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.(2)(3)(4)近似任取小块设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.第10页，共41页，星期日，2025年，2月5日*也表示它的面积,二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义作乘积并作和①②③第11页，共41页，星期日，2025年，2月5日*积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即④第12页，共41页，星期日，2025年，2月5日*曲顶柱体体积它的面密度曲顶即在底D上的二重积分,平面薄片D的质量即在薄片D上的二重积分,第13页，共41页，星期日，2025年，2月5日*2.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注1.重积分中则面积元素为Dyxddd=s第14页，共41页，星期日，2025年，2月5日*(A)最大小区间长;(B)小区域最大面积;(C)小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题第15页，共41页，星期日，2025年，2月5日*2.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的第16页，共41页，星期日，2025年，2月5日*(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,第17页，共41页，星期日，2025年，2月5日*例设D为圆域?二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RD第18页，共41页，星期日，2025年，2月5日*性质１为常