第1页，共26页，星期日，2025年，2月5日一、包络和奇解1包络的定义定义1：对于给定的一个单参数曲线族：曲线族(1)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.第2页，共26页，星期日，2025年，2月5日对于给定的一个单参数曲线族：其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1)(2)对任意的存在唯一的使得且与在有相同的切线.则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.或定义：第3页，共26页，星期日，2025年，2月5日例如单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:第4页，共26页，星期日，2025年，2月5日注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.第5页，共26页，星期日，2025年，2月5日问题:对于给定的单参数曲线族:如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络则对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:第6页，共26页，星期日，2025年，2月5日从而得到二元函数使得若可用参数形式表示为:记则于是,第7页，共26页，星期日，2025年，2月5日上任取一个固定点M,则M在某一条曲线上.由于与在M点有相同的切线,而与在M点的切线的斜率分别为与所以,有从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此现在第8页，共26页，星期日，2025年，2月5日因此,包络线任意一点M不仅要满足而且还要满足把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线第9页，共26页，星期日，2025年，2月5日2包络的求法曲线族(1)的包络包含在下列两方程注:第10页，共26页，星期日，2025年，2月5日解:记则即例1:的包络.求曲线族第11页，共26页，星期日，2025年，2月5日因此c-判别曲线包括两条曲线(2)和(3),第12页，共26页，星期日，2025年，2月5日xyO第13页，共26页，星期日，2025年，2月5日例2:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:第14页，共26页，星期日，2025年，2月5日Oxy第15页，共26页，星期日，2025年，2月5日3奇解定义2:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.例如:第16页，共26页，星期日，2025年，2月5日第17页，共26页，星期日，2025年，2月5日4奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注:第18页，共26页，星期日，2025年，2月5日例3:求微分方程的奇解.解:从消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线即由于方程的通解为:第19页，共26页，星期日，2025年，2月5日