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代数新定义问题常考考点预测练
2025年中考数学三轮复习备考
1．用△定义新运算：对于任意有理数a，b，都有．例如：．
(1)求的值：
(2)当m为有理数时，求．
2．小蜜蜂用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数）．例如：．
(1)当时，求的值．
(2)若的值比的值大2，求a的值．
(3)若的值为5，求的值．
3．综合与实践：
用“”定义新运算：对于任意有理数、，当时，都有；
当时，都有．
(1)求的值；
(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求和的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足__________律．（填运算律）
4．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，求的“和积数”；
(2)若，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）．
5．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1)；
(2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝；
(3)对于有理数x、y，若，求的值．
6．我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定义，如．
(1)根据新定义计算：；
(2)已知，求b的值．
(3)若，求的值．
7．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字比十位数字大，那么称这个两位数为“慧泉数”将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为，新两位数与原两位数的和为，其和与的商为：，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)______；
(2)若，求；
(3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，且满足，求、的值．
8．定义一种新运算．观察下列算式：
；
；
；
．
(1)填一填：______，______；
(2)若，则______（填“”或“”）；
(3)若，求的值．
9．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为．
例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以．
(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；
(2)计算：的值；
(3)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求相异数y．
10．定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”．
(1)若，，求a，b的“加乘数”c；
(2)若，，求a、b的“加乘数”c．
11．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
12．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”．
(1)若，，求、的“鸿蒙数”；
(2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小．
13．定义一种新运算：观察下列各式：
(1)______；
(2)_______；
(3)若与互为相反数，求a的值．
14．定义：任意两个数a、b，按照扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“吉祥数”．
(1)若．求a、b的“吉祥数c；
(2)若，试说明“吉祥数”c为正数．
15．定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”．
(1)若，，求，的“青宁数”；
(2)若，，求、的“青宁数”；
(3)已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示)
16．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：，．
(1)求的值
(2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
17．给出新定义如下：，；例如：，；根据上述知识，解下列问题：
(1)若，，则______；
(2)若，求的值；
(3)若，化简：．结果用含的代数式表示
18．对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为，如：，．
(1)计算：①；②；
(2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值；
(3)若，，且，求的值．
19．定义一种新运算：
例如：1☆；
3☆；
5☆；
4☆．
（1）观察上面各式，用字