第7讲包含与排除
一、寻找蛛丝马迹
练习1
对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都不会的有
人．这个班一共有多少人？
【答案】
【解析】如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数，圆表示会打篮球的人数，
长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：
人，
全班人数为：人．
会两会
游项打
泳都篮球
的会的
两项都不会的
【标注】【能力】逻辑分析
【思想】数形结合思想
练习2
名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都
不在分以上的有人．问：两门都在分以上的有多少人？
【答案】（人）．
【解析】用长方形表示这名学生，圆表示语文得分分以上的人数，圆表示数学得分以
上的人数，与重合的部分表示两门都在分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都
不在分以上的人数．
1
由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两门都不在分以上的人数之和，则
至少一门在分以上的人数为：(人)．根据包含排除法，两门都在分以上的人数
为：(人)．
【标注】【拓展思维】二量容斥
练习3
在这些自然数中能被或整除的数有多少个？
【答案】
【解析】中所有能被整除的自然数有：(个)．
中所有能被整除的自然数有：(个)．
能被和整除的数一定能被整除，有（个）．
能被或整除的自然数有：(个)．
【标注】【拓展思维】二量容斥
练习4
名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按，，，，，依次报数；再让报数
是的倍数的同学向后转，接着又让报数是的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多
少名？
【答案】
【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类标号既不是的倍数，又不是的倍数；第二类标号既是的倍数又是的倍数．
～之间，的倍数有（个），的倍数有（个），既是的倍数又是
的倍数的数一定是的倍数，所以有（个）．于是，第一类同学有
（人），第二类同学有人，所以现在共有（名）同学面向
老师．
【标注】【拓展思维】二量容斥
2
练习5
某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有
人，手中有蓝旗的共有人；而手中有红、黄两种小旗的有人，手中有黄、蓝两种小旗的有
人，手中有红、蓝两种小旗的有人；手中有红、黄、蓝三种小旗的有人．那么这个班共有多少
人？
【答案】人．
【解析】全班人数为：(人