北师大版必修第二册第一章《三角函数》
《5.2.2余弦函数性质再认识》教学设计
【教学目标】
1.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的单调区间、最值；（数学运算）
2.利用余弦函数的图象理解余弦函数的奇偶性、对称性；（数学运算）
3.通过对余弦函数图象的研究过程，深化对一般函数研究方法的再认识.（直观想象）
【教学重点】
1.借助余弦函数的图象理解余弦函数的性质；
2.掌握求余弦函数单调区间、最值、熟练应用余弦函数的奇偶性、对称性解决问题.
【教学难点】
余弦型函数性质的综合应用
【教学过程】
一、复习回顾，提出问题
在第4.2节中，我们借助单位圆学习了余弦函数y＝cosx的定义域、值域、最值、周期、单调性等性质，这节课，我继续从余弦函数的图象进一步理解余弦函数的性质.
请同学们观察图1-35，结合余弦函数的图象思考一下问题：
（1）余弦函数y＝sinx的定义域是？
（2）余弦函数的图象每间隔2π个单位长度，函数值呈现什么规律，余弦函数的周期是？
（3）余弦函数的单调性？
（4）余弦函数的最值和值域？
（5）余弦函数的奇偶性？
（6）探索余弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗?
二、余弦函数性质的再认识
结合余弦曲线，继续探究余弦函数的性质，从图象的直观对余弦函数的性质再认识.
（1）余弦函数的定义域
从余弦函数图象上看，余弦函数的定义域是实数集R.
（2）余弦函数的周期性
请同学们从函数图象、诱导公式、图象变换三个角度探究余弦函数的周期性，留时间给学生思考，教师再引导得出结论.
①从余弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即余弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.
②从诱导公式cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z中得到余弦函数的最小正周期为2π.
③从函数图象变换的角度，考虑，由于余弦函数y＝cosx的图象由正弦曲线y＝sinx想左平移eq\f(π,2)个单位得到的，因此余弦函数的周期性与正弦函数一样，都是周期函数，最小正周期是2π.
（3）余弦函数的单调性
请同学们类比正弦函数单调性的探究，选取一个选取长度为2π的区间，进行单调性研究，并归纳总结出余弦函数的单调区间.
请同学们分小组探究，归纳总结出余弦函数的单调区间，并完成下列填空：
余弦函数在上是增函数；在上是减函数.
在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是减函数
（4）余弦函数的最值和值域
设集合A={x|x=2kπ,k∈Z},B={x|π＋2kπ,k∈Z}
当x∈A时,余弦函数y＝cosx取得最大值1;反之,当余弦函数y＝cosx达到最大值1时,x∈A.
当x∈B时,余弦函数y＝cosx取得最小值-1;反之,当余弦函数y＝cosx达到最小值-1时,x∈B.
从余弦函数的图象(如图)可以看出，余弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以余弦函数的值域是[-1，1].
（5）余弦函数的奇偶性
请同学们借助奇偶函数的定义从图象的角度和定义的角度来探究偶函数的奇偶性.
余弦曲线关于y轴对称，如图.由诱导公式cos(-x)=cosx可知，余弦函数是偶函数.
（6）余弦函数的对称性
请同学们从余弦函数图象，探究余弦函数的对称性，是否有对称轴，是否有对称中心.
提示：有，对称轴是x＝kπ，k∈Z；对称中心是（eq\f(π,2)＋kπ，0）.
余弦函数在最值位置取到对称轴，图象与x轴的交点是对称中心.
归纳总结，形成知识网络
1.余弦函数的性质
函数
余弦函数y＝cosx，x∈R
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
偶函数，图象关于y轴对称
周期性
周期函数，周期为2kπ，k∈Z，k≠0，2π为最小正周期
单调性
在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是减函数
最值
当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1
对称轴
x＝kπ，k∈Z
对称中心
eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z
三、余弦函数性质的应用
应用一、与余弦函数有关的定义域问题
课本P37A组第3题
3.求下列函数的定义域
（3）（4）；
【方法点拨】求具体函数的定义域(有解析式的)
（1）①1AA≠0②A(A≥0)③1A(A0)④
（2）与余弦函数有关的定义域问题，转化为解余弦不等式的问题.
应用二、与余弦函数有关的值域问题
（1）当x∈R时,y=Acos
y
例1．函数的最大值为.
解：因为的最大值为，所以的最大值为3.