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文件名称:3.1弧度概念(教学设计)高一数学(北师大版2019必修第二册).docx
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更新时间:2025-05-16
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文档摘要

北师大版必修第二册第一章《三角函数》

《3.1弧度概念》教学设计

【教学目标】

1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义;(数学抽象、数学运算)

2.通过弧度制的学习,使学生体会相同的现象可以从不同的角度进行表示.(数学抽象)

【教学重点】

弧度制的定义

【教学难点】

弧度制的建立和应用

【素养要求】

通过弧度制的概念的学习,逐步培养数学抽象、数学运算的素养.

【教学过程】

一、创设问题情境,引出新知

在几何图形的学习中,我们知道线段的长度单位可以用米、分米、厘米等,面积的单位可以用,平方米、平方分米、平方厘米等,体积的单位可以用立方米、立方分米、立方厘米。长度、面积、体积等都是以单位线段为基础的。

(从学生熟悉的长度度量单位引出本节课学习的内容,角度是否有不同的度量单位)

思考1:现实生活中还有很多计量单位,如度量长度可以用米、分米、厘米、尺和码等不同的单位,那么度量角度的大小可以用哪些单位呢?

对角的度量,选取一个周角,把它360等分而得到角的度量单位,用这个度量单位去度量其他角的大小.此时角的度量单位的确定与单位线段无关.

思考2:在这种角度单位的定义,45°+tan45°如何运算呢?

tan45°=1是一个实数,一个实数与一个角度45°的和就不能进行运算了,因为我们需要进一步学习角度的其他单位,使得角度与实数能进行运算.

思考3:能否用线段的单位长度来建立角的度量单位,从而把角度的度量也建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢?

思考4:请同学们回顾初中是如何定义1°的?

人们把周角的叫做1°的角,以它为单位来度量角的大小的方法,叫做角度制.

1°的角的大小不因为圆的大小而改变,所以角度大小是一个与圆的半径无关的量.

(教师启发学生回顾,从学生初中原有的知识出发,引导学生思考,初中关于1°的定义)

思考5:如图,射线OA绕端点O旋转到OB形成角α.在旋转过程中,射线OA上的点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°,OP=r,点P所形成的圆弧的长为l.回忆初中所学知识,弧长l如何用圆心角α来表示?

思考6:如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O和P),OQ=r1.在旋转过程中,点Q所形成的的圆弧长为l1,那么l1与r1的比值是多少?你能得出什么结论?

圆心角α所对的弧长与半径的比值,与半径的大小无关,只与α的大小有关

这个比值随α的确定而唯一确定,因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角.

二、抽象概括,得出概念

1.单位圆:半径为单位长度1的圆.

2.弧度与弧度制的定义

在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角,其单位用符号rad表示,读作弧度.在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制.

三、典例剖析,理解概念

课本P9

(1)如图1-11,在单位圆中,的长等于1,弧长所对的圆心角是几弧度的角?

(2)如图1-12,的长等于2,弧长所对的圆心角是几弧度的角?

(教师引导学生利用弧度制的定义写出,的弧度数,感受弧度制的定义,并由此得出角的正负由角的终边旋转方向决定)

(3)设半径为r的圆中,长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α,如何表示出圆心角α的弧度数.

在半径为r的圆中,若圆心角A为n°,则它对应的弧长l=eq\f(|n|,360)·2πr.又此时角A的弧度数α=eq\f(n,360)·2π,因此,l=|α|r,即|α|=eq\f(l,r)

(教师引导结合弧度制的定义,用弧长和半径表示出圆心角的弧度数)

一般地,弧度数与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.弧度制确立了角的弧度数与实数的一一对应关系.

【当堂训练】

1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)1rad的角和1°的角大小相等.(×)

(2)用弧度来表示的角都是正角.(×)

(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关.(√)

(4)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于1弧度.(×)

(因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径,此时对应的弦长小于半径)

3.弧度制的再认识

1)1弧度的角与1°所指的含义不同,是角度不同的单位制;

2)角度制与弧度制为角的度量单位时,角度的大小都与半径的大小无关;

3)角度制的度“°”符号不能省略,弧度制中“弧度”二字或“rad”通常省略不写.

四、课堂小结,升华素养

五、布置作业,即时检测

1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.(×)

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.(×)

(3)“度”