北师大版必修第二册第一章《三角函数》
《5.1.1正弦函数的图象》教学设计
【教学目标】
1.掌握正弦函数的性质,会求正弦函数的单调区间、最值;(数学运算)
2.利用正弦函数的图象理解正弦函数的奇偶性、对称性;(数学运算)
3.通过对正弦函数图象的研究过程,深化对一般函数研究方法的再认识.(直观想象)
【教学重点】
1.借助正弦函数的图象理解正弦函数的性质;
2.掌握求正弦函数单调区间、最值、熟练应用正弦函数的奇偶性、对称性解决问题.
【教学难点】
正弦型函数性质的综合应用
【教学过程】
一、复习回顾,提出问题
在第4..2节中,我们借助单位圆学习了正弦函数y=sinx的定义域、值域、最值、周期、单调性等性质,这节课,我继续从正弦函数的图象进一步理解正弦函数的性质.
请同学们观察图1-35,结合正弦函数的图象思考一下问题:
(1)正弦函数y=sinx的定义域是?
(2)正弦函数的图象每间隔2π个单位长度,函数值呈现什么规律,正弦函数的周期是?
(3)正弦函数的单调性?
(4)正弦函数的最值和值域?
(5)正弦函数的奇偶性?
(6)探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗?
二、正弦函数性质的再认识
结合正弦曲线,继续探究正弦函数的性质,从图象的直观对正弦函数的性质再认识.
(1)正弦函数的定义域
从正弦函数图象上看,正弦函数的定义域是实数集R.
(2)正弦函数的周期性
从正弦函数的图象(如图)可以看到,当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.即正弦函数是周期函数,它的最小正周期为2π.同样,也可以从诱导公式sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π.
(3)正弦函数的单调性
在正弦函数的图象中,选取长度为2π的区间[-eq\f(π,2),eq\f(3π,2)],观察图1-36,可以看出:当x由-eq\f(π,2)增加到eq\f(π,2)时,sinx的值由-1增加到1;当x由eq\f(π,2)增加到eq\f(3π,2)时,sinx的值由1减小到-1.
正弦函数在区间[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]上单调递增,在区间[eq\f(π,2),eq\f(3π,2)]上单调递减.由正弦函数的周期性可知,正弦函数在每一个区间[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ],k∈Z上都单调递增,在每一个区间[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ],k∈Z上都单调递减.
(4)正弦函数的最值和值域
设集合A={x|x=eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z},B={x|-eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z},
当x∈A时,正弦函数y=sinx取得最大值1;反之,当正弦函数y=sinx达到最大值1时,x∈A.
当x∈B时,正弦函数y=sinx取得最小值-1;反之,当正弦函数y=sinx达到最小值-1时,x∈B.
从正弦函数的图象(如图)可以看出,正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间,所以正弦函数的值域是[-1,1].
(5)正弦函数的奇偶性
正弦曲线关于原点对称,如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知,正弦函数是奇函数.
(6)正弦函数的对称性
提示:有,对称轴是x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z;对称中心是(kπ,0).
正弦函数在最值位置取到对称轴,图象与x轴的交点是对称中心.
归纳总结,形成知识网络
1.正弦函数的性质
函数
正弦函数y=sinx,x∈R
图象
定义域
R
值域
[-1,1]
最值
当x=eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z时,ymax=1;
当x=-eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
周期性
周期函数,周期为2kπ,k∈Z且k≠0,2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数,,图象关于原点对称
单调性
在[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ],k∈Z上是增函数;
在[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ],k∈Z上是减函数
对称轴
x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z
对称中心
(kπ,0),k∈Z
三、正弦函数性质的应用
应用一、与正弦函数有关的定义域问题
课本P37A组第3题
3.求下列函数的定义域
(1)(2);
【方法点拨】求具体函数的定义域(有解析式的)
(1)①1AA≠0②A(A≥0)③1A(A0)④
(2)与正弦函数有关的定义域问题,转化为解正弦不等式的问题.
应用二、与正弦函数有关的值域问题
(1)当x∈R时,y=Asin