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文件名称:5.1.2正弦函数性质再认识(教学设计)高一数学(北师大版2019必修第二册).docx
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更新时间:2025-05-16
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文档摘要

北师大版必修第二册第一章《三角函数》

《5.1.1正弦函数的图象》教学设计

【教学目标】

1.掌握正弦函数的性质,会求正弦函数的单调区间、最值;(数学运算)

2.利用正弦函数的图象理解正弦函数的奇偶性、对称性;(数学运算)

3.通过对正弦函数图象的研究过程,深化对一般函数研究方法的再认识.(直观想象)

【教学重点】

1.借助正弦函数的图象理解正弦函数的性质;

2.掌握求正弦函数单调区间、最值、熟练应用正弦函数的奇偶性、对称性解决问题.

【教学难点】

正弦型函数性质的综合应用

【教学过程】

一、复习回顾,提出问题

在第4..2节中,我们借助单位圆学习了正弦函数y=sinx的定义域、值域、最值、周期、单调性等性质,这节课,我继续从正弦函数的图象进一步理解正弦函数的性质.

请同学们观察图1-35,结合正弦函数的图象思考一下问题:

(1)正弦函数y=sinx的定义域是?

(2)正弦函数的图象每间隔2π个单位长度,函数值呈现什么规律,正弦函数的周期是?

(3)正弦函数的单调性?

(4)正弦函数的最值和值域?

(5)正弦函数的奇偶性?

(6)探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗?

二、正弦函数性质的再认识

结合正弦曲线,继续探究正弦函数的性质,从图象的直观对正弦函数的性质再认识.

(1)正弦函数的定义域

从正弦函数图象上看,正弦函数的定义域是实数集R.

(2)正弦函数的周期性

从正弦函数的图象(如图)可以看到,当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.即正弦函数是周期函数,它的最小正周期为2π.同样,也可以从诱导公式sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π.

(3)正弦函数的单调性

在正弦函数的图象中,选取长度为2π的区间[-eq\f(π,2),eq\f(3π,2)],观察图1-36,可以看出:当x由-eq\f(π,2)增加到eq\f(π,2)时,sinx的值由-1增加到1;当x由eq\f(π,2)增加到eq\f(3π,2)时,sinx的值由1减小到-1.

正弦函数在区间[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]上单调递增,在区间[eq\f(π,2),eq\f(3π,2)]上单调递减.由正弦函数的周期性可知,正弦函数在每一个区间[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ],k∈Z上都单调递增,在每一个区间[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ],k∈Z上都单调递减.

(4)正弦函数的最值和值域

设集合A={x|x=eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z},B={x|-eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z},

当x∈A时,正弦函数y=sinx取得最大值1;反之,当正弦函数y=sinx达到最大值1时,x∈A.

当x∈B时,正弦函数y=sinx取得最小值-1;反之,当正弦函数y=sinx达到最小值-1时,x∈B.

从正弦函数的图象(如图)可以看出,正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间,所以正弦函数的值域是[-1,1].

(5)正弦函数的奇偶性

正弦曲线关于原点对称,如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知,正弦函数是奇函数.

(6)正弦函数的对称性

提示:有,对称轴是x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z;对称中心是(kπ,0).

正弦函数在最值位置取到对称轴,图象与x轴的交点是对称中心.

归纳总结,形成知识网络

1.正弦函数的性质

函数

正弦函数y=sinx,x∈R

图象

定义域

R

值域

[-1,1]

最值

当x=eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z时,ymax=1;

当x=-eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z时,ymin=-1

周期性

周期函数,周期为2kπ,k∈Z且k≠0,2π是它的最小正周期

奇偶性

奇函数,,图象关于原点对称

单调性

在[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ],k∈Z上是增函数;

在[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ],k∈Z上是减函数

对称轴

x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z

对称中心

(kπ,0),k∈Z

三、正弦函数性质的应用

应用一、与正弦函数有关的定义域问题

课本P37A组第3题

3.求下列函数的定义域

(1)(2);

【方法点拨】求具体函数的定义域(有解析式的)

(1)①1AA≠0②A(A≥0)③1A(A0)④

(2)与正弦函数有关的定义域问题,转化为解正弦不等式的问题.

应用二、与正弦函数有关的值域问题

(1)当x∈R时,y=Asin