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文件名称:第七章复数单元教学分析-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.docx
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更新时间:2025-05-16
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文档摘要

第七章《复数》单元教学设计

单元划分

复数是一类重要的运算对象,有广泛的应用.在数学的历史长河中,复数的发展不是一帆风顺的.复数概念的产生可以追溯到1545年卡尔达诺(G.Cardano,1501~1576)提出的“分十”问题.起初,卡尔达诺的研究仅限于实数集,他并不承认负数能开平方.后来,数学家在探索一元三次方程的求根公式时,再也无法回避这个问题,于是开始摒弃成见着手研究复数.在解决问题的过程中,逐步认识到复数是一类“二元数”,是一种具有广泛应用的重要的运算对象,其意义远超人们的想象.

本章基于学生研究实数、平面向量等运算对象的经验,结合数学史料,使学生经历复数的研究历程,体会数学问题解决过程中展现出来的思想、精神和智慧.具体而言,通过解方程使学生理解引入复数的必要性,运用从自然数系向实数系扩充过程中积累的数学基本活动经验,以复数为载体重温研究运算对象的基本路径:背景——概念——基本性质——运算及几何意义、运算律——联系与运用;借助用数轴上的点表示数的经验,研究复数代数表示的几何意义;类比实数的表示及运算,研究复数的代数表示、三角表示及其运算,突出复数的两种表示及运算的几何意义,彰显形与数的融合;通过复数的三角表示进一步建立复数与平面向量、三角函数、平面几何之间的联系,增强学生对数学的整体认识;借助中学阶段数系扩充的“末班车”,渗透数系扩充的数学思想,以期培育学生的理性思维和科学精神.

本章的学习,可以帮助学生理解引入复数的重要性,明晰数系扩充的过程,掌握数系扩充的基本思想、复数的表示、运算及其几何意义,发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养.

本单元的主要教学内容有:复数的概念,复数的运算,以及复数的三角表示*

从本质上来说,复数是一类重要的运算对象,即一对有序实数,复数有三种表达形式,复数与复平面内的点一一对应,与复平面内以坐标原点0为起点的向量也是一一对应的.复数有加法、减法、乘法、除法四种运算.在复数教学中,蕴含着数形结合思想、分类与整合思想以及转化与化归思想;通过复数的学习,可以优化抽象概括思维,发展逻辑推理素养,数学抽象素养与数学运算素养

本单元内容在必修第二册(人教A版),乃至高中数学,甚至是整个数学学科中都具有奠基的作用,对发展学生的数学素养也具有较高的价值,具体地:

从学科的角度看,复数系是保持实数系运算的条件下的最后一次扩充,解决了开方运算的封闭性,即负数的开方运算,以及实系数一元二次方程的求解问题,在复数系内,可以得到代数基本定理,从而得到多项式的基本结构.同时,复数是进一步学习高等数学、复变函数的基础,并已广泛应用于流体力学,信号分析学等学科.

从教学的角度看,复数是高中数学课程几何与代数主线中代数领域的内容,复数的概念及其运算是实数的概念及其运算的一般化,同时涉及到多项式及其运算,平面向量的相关概念及平面向量的运算,特别的,复数的三角形式及复数的乘法、除法法则与三角函数的定义及两角和与差的余弦公式、正弦公式相互联系

从学科素养的角度看,复数的学习有利于优化抽象概括思维,发展数学核心素养.首先,数学是研究抽象了的东西,第一步抽象就是“复数概念是如何存在的”,第二步抽象就是“如何合理的表达复数概念”,第三步抽象就是“利用复数解决数学问题的形式化”,即复数的运算法则.因此,通过复数的学习,可以更好地积累数学抽象的经验,发展数学抽象素养.其次,通过类比多项式加法、乘法运算法则,归纳复数的加法、乘法运算法则,通过实数系内四则运算间的关系,归纳复数的减法法则,理解除法运算结果的存在性;通过分析复数的代数表示,利用“分母实数化”计算复数除法,因此,复数的四则运算(加法、减法、乘法、除法)的学习,有利于发展数学运算素养,第三通过复数的几何意义及复数的加法、减法运算的几何意义的理解,进一步体会以坐标原点为始点的向量与复数之间的一一对应关系,所以复数的学习有利于发展直观想象素养.

基于以上分析,将本章划分为以下三个单元:

第一单元复数的概念

内容和内容解析

1.内容

从实数系扩充到复数系的过程与方法,复数的概念及代数表示;复数代数表示的几何意义,共轭复数的定义.

本单元分为2课时:第1课时,数系的扩充和复数的概念;第2课时,复数的几何意义.

2.内容解析

复数的引入是数系在中学数学中的最后一次扩充,抓住此次复数的学习机会,可使学生对数的概念有一个更加完整的认识.复数与平面向量、三角函数、平面解析几何等都有紧密的联系,也是学生进一步学习高等数学、力学、电学等学科知识的基础.本单元在学生已掌握实数、平面向量等相关知识的基础上,对复数这个数学研究对象的概念展开研究.

在数学内部,数系的扩充不是盲目的,必须依据数系扩充的基本思想进行.本章充分考虑学生已有的数系