第七章《复数》单元教学设计

单元划分

复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用.在数学的历史长河中，复数的发展不是一帆风顺的．复数概念的产生可以追溯到1545年卡尔达诺（G.Cardano,1501~1576）提出的“分十”问题．起初，卡尔达诺的研究仅限于实数集，他并不承认负数能开平方.后来，数学家在探索一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题，于是开始摒弃成见着手研究复数.在解决问题的过程中，逐步认识到复数是一类“二元数”，是一种具有广泛应用的重要的运算对象，其意义远超人们的想象．

本章基于学生研究实数、平面向量等运算对象的经验，结合数学史料，使学生经历复数的研究历程，体会数学问题解决过程中展现出来的思想、精神和智慧．具体而言，通过解方程使学生理解引入复数的必要性，运用从自然数系向实数系扩充过程中积累的数学基本活动经验，以复数为载体重温研究运算对象的基本路径：背景——概念——基本性质——运算及几何意义、运算律——联系与运用；借助用数轴上的点表示数的经验，研究复数代数表示的几何意义；类比实数的表示及运算，研究复数的代数表示、三角表示及其运算，突出复数的两种表示及运算的几何意义，彰显形与数的融合；通过复数的三角表示进一步建立复数与平面向量、三角函数、平面几何之间的联系，增强学生对数学的整体认识；借助中学阶段数系扩充的“末班车”，渗透数系扩充的数学思想，以期培育学生的理性思维和科学精神．

本章的学习，可以帮助学生理解引入复数的重要性，明晰数系扩充的过程，掌握数系扩充的基本思想、复数的表示、运算及其几何意义，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养.

本单元的主要教学内容有:复数的概念，复数的运算，以及复数的三角表示*

从本质上来说，复数是一类重要的运算对象，即一对有序实数，复数有三种表达形式，复数与复平面内的点一一对应，与复平面内以坐标原点0为起点的向量也是一一对应的.复数有加法、减法、乘法、除法四种运算.在复数教学中，蕴含着数形结合思想、分类与整合思想以及转化与化归思想;通过复数的学习，可以优化抽象概括思维，发展逻辑推理素养，数学抽象素养与数学运算素养

本单元内容在必修第二册(人教A版)，乃至高中数学，甚至是整个数学学科中都具有奠基的作用，对发展学生的数学素养也具有较高的价值，具体地：

从学科的角度看，复数系是保持实数系运算的条件下的最后一次扩充，解决了开方运算的封闭性，即负数的开方运算，以及实系数一元二次方程的求解问题，在复数系内，可以得到代数基本定理，从而得到多项式的基本结构.同时，复数是进一步学习高等数学、复变函数的基础，并已广泛应用于流体力学，信号分析学等学科.

从教学的角度看，复数是高中数学课程几何与代数主线中代数领域的内容，复数的概念及其运算是实数的概念及其运算的一般化，同时涉及到多项式及其运算，平面向量的相关概念及平面向量的运算，特别的，复数的三角形式及复数的乘法、除法法则与三角函数的定义及两角和与差的余弦公式、正弦公式相互联系

从学科素养的角度看，复数的学习有利于优化抽象概括思维，发展数学核心素养.首先，数学是研究抽象了的东西，第一步抽象就是“复数概念是如何存在的”，第二步抽象就是“如何合理的表达复数概念”，第三步抽象就是“利用复数解决数学问题的形式化”，即复数的运算法则.因此，通过复数的学习，可以更好地积累数学抽象的经验，发展数学抽象素养.其次，通过类比多项式加法、乘法运算法则，归纳复数的加法、乘法运算法则，通过实数系内四则运算间的关系，归纳复数的减法法则，理解除法运算结果的存在性;通过分析复数的代数表示，利用“分母实数化”计算复数除法，因此，复数的四则运算(加法、减法、乘法、除法)的学习，有利于发展数学运算素养，第三通过复数的几何意义及复数的加法、减法运算的几何意义的理解，进一步体会以坐标原点为始点的向量与复数之间的一一对应关系，所以复数的学习有利于发展直观想象素养.

基于以上分析，将本章划分为以下三个单元：

第一单元复数的概念

内容和内容解析

1．内容

从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念及代数表示；复数代数表示的几何意义，共轭复数的定义．

本单元分为2课时：第1课时，数系的扩充和复数的概念；第2课时，复数的几何意义．

2．内容解析

复数的引入是数系在中学数学中的最后一次扩充，抓住此次复数的学习机会，可使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、三角函数、平面解析几何等都有紧密的联系，也是学生进一步学习高等数学、力学、电学等学科知识的基础．本单元在学生已掌握实数、平面向量等相关知识的基础上，对复数这个数学研究对象的概念展开研究．

在数学内部，数系的扩充不是盲目的，必须依据数系扩充的基本思想进行.本章充分考虑学生已有的数系