北师大版必修第二册第五章《复数》
《5.3复数的三角表示》教学设计
【教学目标】
1.通过复数的几何意义引入复数的模与辐角的概念，探究复数代数形式与三角形式的关系.（数学运算、逻辑推理）
2.借助复数的三角表示研究复数乘法、除法运算的几何意义（直观想象）
【教学重点】
复数的三角表示、复数乘除法运算的三角表示及其几何意义
【教学难点】
复数乘除法运算的三角表示及其几何意义
【教学过程】
一、复习回顾，提出问题
请大家回顾复数的几何意义是什么？
（1）复数z=a+bi一一对应
（2）复数z=a+bi一一对应平面向量OZ
【探究与发现】设复数z=1?3i
（1）写出Z的坐标，并在复平面中描出Z的的位置.
（2）设为r向量r的模，θ是以原点O为原点，以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线为终边的角，求r出的值，并写出θ的任意一个值，探究r，θ与z=1?3i的实部与虚部之间的关系.
二、抽象概括，得出概念
1.复数的三角表示
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模，θ是以原点O为原点，以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线为终边的角，θ称为复数z＝a＋bi的辐角，则r＝eq\r(a2＋b2)，如图所示
根据任意角的余弦函数、正弦函数的定义可知：cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)
则任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cosθ＋isinθ)
其中r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)
z＝r(cosθ＋isinθ)称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式.
为了与三角形式区分，a＋bi称为复数的代数表示式，简称代数形式.
复数的代数形式与三角形式可以互化.
（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法；
（2）复数的代数形式是唯一的，但复数的三角形式不唯一；
（3）确定复数a+bi
一是由r＝a2+b2确定复数的模，二是由cosθ＝ar，sinθ
2.辐角的主值
将满足条件0≤θ＜2π的辐角值，称为辐角的主值，通常记作arg_z.
3.两个复数相等
每一个非零复数有唯一的模与辐角主值，并且可由模与辐角主值唯一确定.因此两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.
4.复数三角形式的乘法法则
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.即
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].
据此，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若θ20，就要把OZ1绕原点O按顺时针方向旋转角|θ
5.复数三角形式的除法法则
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.即
eq\f(r1（cosθ1＋isinθ1）,r2（cosθ2＋isinθ2）)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
三、典例剖析，理解概念
1.复数的代数形式与三角形式的互化
例1将下列复数表示为三角形式（辐角取主值）：
（1）-5i；（2）-10；（3）-1+3i；（4）3-i.
解：（1）∵?r＝?52＝5，cosθ＝0，sinθ＝-1，∴θ＝32π，∴-5i＝
（2）∵r＝?102＝10，cosθ＝-1，sinθ＝0，∴θ＝π，∴-10＝10（
（3）∵?r＝?12+32＝2，cosθ＝-12，sinθ＝32，∴θ＝23π，
（4）∵r＝32+?12＝2，cosθ＝32，sinθ＝-12，∴θ＝116π，
2.将复数z＝eq\r(2)[cos(－eq\f(π,4))＋isin(－eq\f(π,4))]化为代数形式，为____________.
解：z＝eq\r(2)(coseq\f(π,4)－isineq\f(π,4))＝eq\r(2)×coseq\f(π,4)－(eq\r(2)×sineq\f(π,4))i＝1－i.]
【当堂训练】
1.将下列复数表示为三角形式（辐角取主值）：
（1）2-2i；（2）20；（3）-3-3i.
解：（1）∵r＝22+?22＝?22，cosθ＝22，sinθ＝??22，∴
（2）