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2024-2025学年浙江省台金七校联盟高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={?3,?1,1,2,3}，B={x|x2?2x?3=0}，则A∩B=
A.{?1,3} B.{?3,1} C.{3} D.{?3}
2.已知复数(1?i)z=2(i为虚数单位)，则z=(????)
A.i B.?i C.1+i D.1?i
3.在△ABC中，BC=3BD，则AC=
A.4AD?3AB B.3AD?4AB
4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”;如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图(注意：单位cm)，则平地降雪厚度的近似值为(????)
A.9712cm B.9512cm C.
5.已知平面α，β，直线l?α，直线m?α，下列说法正确的是(????)
A.若α//β，m⊥β，则l⊥m B.若α//β，l//m，则m//β
C.若α⊥β，m//β，则l//m D.若l⊥m，m//β，则α⊥β
6.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠OAE+∠OBE+∠OCE+∠ODE=(????)
A.π6 B.π4 C.π3
7.已知a?2a=b?log
A.2a+a=b+log2b B.a+b=2
8.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为(????)
A.33 B.63 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,x)，则下列正确的是(????)
A.|a|=5
B.若a⊥b，则x=?4
C.当x=2时，则向量a在向量b上的投影向量为14b
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(????)
A.若a=4，b=10，A=π4，则满足条件的三角形有两个
B.若tanA+tanB+tanC0，则△ABC为锐角三角形
C.若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB+
11.如图1，矩形ABCD，已知AB=2，AD=1，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2四棱锥D′?ABCE，点F是线段D′B上(不含端点)的动点，则下列正确的是(????)
A.当F为中点时，CF//平面AD′E
B.当F为中点时，过点A，E，F的截面交CD′于点M，则2CM=D′M
C.在翻折过程中，存在一个位置使得AE⊥CD′
D.当AD′⊥BD′时，AF+CF的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，若斜边长为22的等腰直角?A′B′C′(B′与O′重合)
的?ABC的直观图，则?ABC的面积为??????????．
13.已知向量|a|=2|b|=2，且向量a与向量b的夹角为π3，则
14.已知正四面体A?BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为??????????．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z?21+i
(1)求复数z;
(2)若复数z1=2z?1是关于x的方程x2+mx+n=0的根，求实数m
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且1b
(1)求角A;
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2
(1)解方程f(x)=
(2)若f(3x)?mf(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面ADEF⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．
(1)证明：平面ABF//平面CDE;
(2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE;
(3)当DE=2时，求二面角B?CF?E的正弦值．
19.(本小题17分)
向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的