第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年天津五十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数1+i4+3i的虚部是(????)
A.125i B.125 C.?
2.在平行四边形ABCD中，DA+DC?
A.DB B.BC C.CD D.DC
3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(????)
A.若m//α，n//α，则m//n B.若m⊥α，n?α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m//α，m⊥n，则m⊥α
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2,B=45°,b=2，则A=
A.30°或150° B.30° C.150° D.45°
5.如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′(图中虚线分别与x′轴垂直，y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是(????)
A.20
B.40
C.402
6.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a=(????)
A.2n+3k
B.(2+2)
7.半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为(????)
A.12564π B.125π64 C.1254π
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|OA|=|
A.14BC B.34BC C.
9.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别是BC，CD上的点(不含端点)，且MN//BD，则AM?AN的取值范围是(????)
A.(?2,4) B.(?2,2) C.(1,2) D.(2,4)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设复数z=i1?i，则|z|=______．
11.若非零向量a、b满足|a+b|=5|b|
12.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1.若二面角C?AB?C1的大小为
13.设点A(2,1)，B(?1,4)，若点P在直线AB上，且满足|AB|=3|BP|，则点
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，
若4S=(a2?3b2
15.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC，AC=2BC，
则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
(1)已知复数z=(m2+m?6)+(m2+m?2)i(m∈R).若复数z+4m为纯虚数，求m的值；
(2)已知复数z=(1+i)2
17.(本小题15分
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a+bsin
(1)求角B；
(2)若b=3，cosA=63
18.(本小题15分)
如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱．
(1)求此圆锥的表面积与体积；
(2)试用x表示圆柱的高?；
(3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
19.(本小题15分)
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点E和F分别为BC和A1C的中点．
20.(本小题15分)
在边长为4的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．
(1)若P为△ABC内部一点(不包括边界)，求PB?PC的取值范围；
(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面积为
参考答案
1.B?
2.D?
3.B?
4.B?
5.B?
6.D?
7.B?
8.D?
9.A?
10.2
11.π4
12.34
13.(?2,5)或(0,3)?
14.3?
15.5
16.解：(1)因为z=(m2+m?6)+(m2+m?2)i(m∈R)，
所以z+4m=(m2+5m?6)+(m2+m?2)i，
又因为复数z+4m为纯虚数，所以m2+5m?6=0m2+m?2≠0，解得m=?6；
(2)因为z=(1+i)2+2i1+i=1+2i+i2+2i(1?i)(1+i)(1?i)=2i+i(1?i)=1+3i，
所以z?=1?3i，
因为z2+az?+b=2+3i，且z2+