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2024-2025学年天津市南开中学高一下学期质量监测（一）
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式能化简为PQ的是(????)
A.QC+QP+CQ B.AB+PA
2.若复数z满足z=1+i(i是虚数单位)，则下列说法不正确的是
A.复数z在复平面内对应点在第一象限 B.z的模为2
C.z的共轭复数为1?i D.复数z
3.在?ABC中，sinA:sinB
A.?14 B.14 C.?
4.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是(????)
A.12π B.86π C.
5.在?ABC中，下列命题不正确的是(????)
A.若AB，则sinAsinB
B.若sin2A=sin2B，则?ABC一定为等腰三角形
C.若a2+b2
6.已知α,β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是(????)
A.若m//α,n//α，则m//n B.若α//β,m?α,n?β，则m//n
C.
7.如图，在棱长为1正方体ABCD?A1B1C1D1中，点
A.334 B.233
8.有下列四个结论：
①已知e1=(2,?
②若平面向量a=(1,2),b=(2,1)，则a在b
③两个非零向量a,b，若|a?b
④已知向量a=(4,2),b=(λ,1)，若a与b的夹角是锐角，则实数λ
其中所有正确结论的序号为(????)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
9.设锐角?ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，且(2b?c)
①A=π3；????????②?
③?ABC的面积的最大值是334；????
A.4 B.3 C.2 D.1
10.如图，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在CC1上且CE=3E
A.V28 B.V21 C.3V28
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知i是虚数单位，则复数2+4i1?i=
12.已知向量a、b满足a=1，b=23，b?2a+
13.如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
①CN//DE；②BM//平面ADE；③平面BDM//平面AFN；④DM,BF
14.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8km到达D地，则A，D两地的距离为??????????km．
15.在四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分别为线段AB、CD的中点，若设AD=a，BC=b
16.如图，在?ABC中，AB=2,AC=3,AB?AC=3，点D是BC的中点，点E在边AC上，3AE=AC,BE交AD于点F，设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R)
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=23，b=3c
(1)求c的值；
(2)求sinC
(3)求sin(2A+C)的值．
18.(本小题12分)
如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C
(1)证明：BC//平面A
(2)证明：平面A1EF//
(3)平面BCGH将三棱柱ABC?A1B1C1
19.(本小题12分)
在?ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC
(1)若acosB=3bcos
(2)若∠BAC=2π3,AD
(3)若b=3a，令t=sinB
参考答案
1.C?
2.D?
3.A?
4.C?
5.B?
6.C?
7.D?
8.A?
9.B?
10.A?
11.?1+3i
12.π6
13.②③④?
14.2
15.12
16.?1
17.(1)因为a=23，b=3c，
由余弦定理可得cosA=b2
解得c=1．
(2)因为cosA=?13，
由正弦定理asinA=
解得sinC=
(3)(法一)由(2)得，sin2A=2
cos2A=2
cosC=
所以sin(2A+C)=
所以sin(2A+C)
(法二)由余弦定理可得cosB=
∴sin
∴
=sin
?
18.【详解】(1)∵E、
∴EF
又BC?平面A1EF，EF?
所以BC//平面A
(2)∵F、
故FC=1
又∵AC//A
∴四边形FCGA
∴A
又GC?平面A1EF，A1
∴GC//
又由(1)知BC