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2024-2025学年上海市新川中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.α=π3是sinα=
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.将函数y=sinx图象上每个点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π
A.y=sin2x?π6 B.y=sin1
3.如图，在?ABCD中，E是BC的中点，若AB=a,AD=b，则
A.12a?b B.12a
4.已知w0，函数f(x)=3sinwx+π4?2在区间
A.0,12 B.(0,2] C.12
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在平面直角坐标系中，2025°是第??????????象限角．
6.若向量a=(1,1)，b=(?1,1)，则a+2b
7.函数y=cos(x+φ)?(其中0φ
8.已知扇形圆心角α=60°,α所对的弧长l=6π，则该扇形面积为
9.函数y=tanx+π6的定义域为
10.已知向量a,b的夹角为5π6，且a=23，
11.若方程3x2+5x?7=0的两根为tanα与tanβ，则
12.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,0
13.已知e1→，e2→不共线，a→=e1→+2e2→
14.已知函数f(x)=2sin2x?π6，x∈R.当x∈
15.已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC.则角A=??????????
16.设a,b为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“?”：a?b
①a?b
③a+b?c=a
以上所有正确结论的序号是??????????．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知sinθ+2
(1)求tan2
(2)求3sin2
18.(本小题15分)
已知向量a=(2,1)，b
(1)若a与b的夹角为135°，求实数m
(2)若a⊥a?b，求向量a
19.(本小题16分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为33，求a
20.(本小题17分)
已知函数f(x)=3
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若方程f(x)=2在x∈0,π3上有两个不相等的实数根x1，
21.(本小题17分)
对于函数f(x)(x∈D)，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T函数”，若对任意的x∈D，都有
(1)求证：f(x)=sinx，x∈R
(2)若函数f(x)=kx+sin2x是“π
(3)对于定义域为R的函数f(x)，f(0)=0.函数sinf(x)是奇函数，且对任意的正实数T，sinf(x)均是“严格T函数”.若f(a)=π2，f(b)=?
参考答案
1.A?
2.C?
3.D?
4.D?
5.三?
6.(?1,3)?
7.π2
8.54π
9.x|
10.2
11.?1
12.f(x)=3sin
13.?∞,
14.2?
15.π3
16.①④?
17.【详解】(1)由sinθ+2cosθ=0，则sin
所以tan2
(2)3sin
?
18.【详解】(1)因为a=(2,1),b=(?1,m)，则a?b
若a与b的夹角为135°，则由a
可得：m?2=5×1+
则实数m的取值为?3或13
(2)a?b=(3,1?m)，因为
则m=7，可得：b=(?1,7)，a?b
则a在b方向上的投影向量为：a?
?
19.【详解】(1)因为a2
所以由余弦定理得cosC=a2
所以cosB=3
所以B=π
(2)由(1)知cosC=32，又
所以C=B=π6，所以b=c，
因为S?ABC=12
所以由余弦定理得a2=b
?
20.【详解】(1)由题设f(x)=3
所以，最小正周期T=2
(2)令?π2+2kπ≤2x+
所以，增区间为[?π3+k
(3)由x∈0,π
所以g(t)=3sint=2在[π6,
由sint1=sint
所以5π6t
所以cos2(
所以2cos2(
所以cos(
?
21.【详解】(1)证明：取非零常数T=2π
则对任意的x∈R，都有f
因为sinx≥sinx
故f(x)=sinx，x∈R
(2)函数f(x)=kx+sin2x是“π
则fx+π2
整理得π2k≥?cos
故π2
即k的取值范围为[2
(3)因为对于任意x∈R，对任意的x∈D
则f(x)在R上为单调增函数，
令g(x)=sin