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2024-2025学年上海市通河中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=2?2i，则z的虚部为(????)
A.2 B.?2 C.?2i D.
2.在?ABC中，“sinA=sinB”是“A=B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=3cos2x?π6是由f(x)=3cos
A.向右平移π6 B.向右平移π12 C.向右平移π3
4.对于函数f(x)=sinx
①函数y=f(x)的图象关于点?π
②函数y=f(x)的对称轴是x=k
③函数f(x)的零点为x=k
④若函数y=f(x+φ)是偶函数，则|φ|的最小值为π8
其中正确的命题个数是(????)
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合A=(?1,1),B=Z，则A∩B=??????????
6.已知角α的终边经过点P(1,2)，则sinα=??????????
7.复数z=3?i，则|z|=
8.已知扇形的弧所对的圆心角为π3，且半径为10cm，则该扇形的面积为??????????．
9.设a=lg2，b=lg3，用a，b表示lg12
10.已知a=(?2,?1)，b=(λ,1)，若a与b共线，则实数λ的值为
11.向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a
12.已知a=(6,2),b=(2,?1)，则向量a在向量
13.已知a，b是正实数，且a+b=2，则4a+1b的最小值为
14.如图，已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ2)的图像与y轴的交点为(0,1)，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为x
15.函数f(x)=12cos2x+sinx+a?
16.如图，在?ABC中，∠BAC=π3，D为AB中点，P为CD上一点，且满足AP=tAC+13AB，若?ABC
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知a=(2
(1)求a和a,
(2)已知c=b?ka，且c
18.(本小题15分)
已知?ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c
(1)若b=4，a=43，A=120°
(2)若a2?b2
19.(本小题16分)
(1)已知tanα=3，求sin
(2)已知α∈0,π2
20.(本小题17分)
已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=sin
(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π2，求ω的值及y=f(x)
(2)若ω=2，设函数y=g(x)的表达式为g(x)=f(x)+23cos2x?
21.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成θ0θπ角的两条数轴，e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下
(1)若θ=60°,OM=2
(2)若θ=60°,OA=x1
(3)设OA=(3,1),OB=(1,1),∠AOB=α，若OA?tOB
参考答案
1.B?
2.C?
3.B?
4.D?
5.0?
6.2
7.2?
8.50π
9.2a+b?
10.2?
11.2?
12.(4,?
13.92
14.3
15.?1
16.2
17.(1)根据向量模的计算公式，|a
已知a=(2,?1)，b
再根据向量模的计算公式求出|b
然后根据向量的夹角公式可得cosa
因为两向量夹角的范围是[0,π]，所以
(2)已知c=b?ka，a=(2
因为c⊥a，根据向量垂直的性质，所以
即(1?2k)×2+(?3+k)×
18.(1)由正弦定理，可得sinB=bsin
所以B=30o，则
∴S
(2)由a2?b
由余弦定理得cosA=b2
所以A=2
19.(1)因为sinπ
又tanα=3，所以sin
(2)因为α∈
所以sinα=1?
则cos(α?β)=
20.(1)因为ω0，由题知2πω=
由?π2+2k
所以f(x)=sin4x单调递增区间为
(2)由ω=2，知g(x)=sin
当x∈0,π4时，
所以g(x)=2sin
21.(1)因为θ=60°，则e1,
则OM=
(2)不正确，理由如下，
因为θ=60°，则e1?
则OA?
若OA⊥OB，则OA?
所以“OA⊥OB”的充要条件是“
故“OA⊥OB”的充要条件是“
(3)因为OA=(3,1),OB=(1,1)
OA=
OB=
OA?
由OA?tOB≥
所以10+6cos
即21+cosθ
又因为1+cosθ
解得?1cos
因为0θπ
所以cos