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2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，OC是(????)
A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
2.函数y=sinx2的单调递增区间是
A.[kπ?π4,kπ+π4](k∈Z) B.[kπ+
3.若|a|=3，a在b方向上的数量投影是32，则?a
A.π6 B.2π3 C.π2
4.已知函数f(x)=4sinπx,0≤x≤112f(x?1),x1，若函数y=f2(x)+2af(x)+2?a在[0,+∞)有
A.(?∞,?3)∪(?187,?2) B.(?∞,?187)∪(1,+∞)
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若复数z=?1+ai(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数a的值为______．
6.若AB=3a?4b，AC=5a
7.函数y=sin(3x?π
8.不等式x?12x+50的解集为______．
9.已知4a=5b=10
10.如果cosα=?15，且α是第三象限的角，那么cos(α+
11.已知sin(α+π12)=3
12.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地，由B地向南东30°方向骑行了6km到达C地，从C地向北偏东60°骑行了23km到达D地，则A，D两地的距离是______km
13.已知函数f(x)=3?axa?1(a0)，若f(x)在区间(0,1]上是严格减函数，则实数
14.复数z满足|z?5|=|z?1|=|z+i|，则|z|=______．
15.已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点(含圆周)，则PA?PB+
16.若存在实数φ，使函数f(x)=cos(ωx+φ)?12(ω0)在x∈[π,3π]上有且仅有2
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知z为复数，z+2i和z2?i均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若z1=
18.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=4x+k2x(k∈R)．
(1)是否存在实数k，使函数y=f(x)是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当k=1时，若关于x
19.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b=23，c=2，bsinC?2csinBcosA=0．
(1)求△ABC的面积S；
(2)函数f(x)=4cosx(sinxcosA+cosxsinA)(x∈[0,2])，求函数
20.(本小题14分)
如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
(1)设PG=λPQ，将OG用λ、OP、OQ表示；
(2)设OP=xOA，OQ=yOB，问：1x+1y是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，记△OAB
21.(本小题14分)
若函数y=f(x)的定义域、值域均为[a,b]，则称y=f(x)为[a,b]上的方正函数；
(1)若y=12x2?x+32为区间[1,b](b1)的方正函数，求实数b的值；
(2)是否存在实数对(a,b)，使得函数f(x)=?x1+|x|为区间[a,b](ab)上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对(a,b)，若不存在，请说明理由；
(3)设f(x)=ax2+bx+c，g(x)=cx2
参考答案
1.B?
2.C?
3.D?
4.A?
5.?1?
6.2a
7.2π3
8.(?∞,?5
9.2?
10.2
11.725
12.2
13.(1,3]?
14.3
15.[?4
16.[1
17.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
由z+2i=a+(b+2)i为实数，可得b+2=0，则b=?2．
又z2?i=a+bi2?i=(a+bi)(2+i)(2?i)(2+i)=2a+25+a?45i为实数，则a?45=0，
得a=4，∴z=4?2i；
(2)∵z1=z?+
18.解：(1)函数f(x)=4x+k2x定义域为R，
若f(x)是奇函数，则f(0)=1+k=0，
解得k=?1，此时f(x)=4x?12x=2x?2?x，
f(?x)=2?x?2x=?(2x?2?x)=?f(x)，符合题意，
故k=?1．
(2)当k=1时，f(x)=
19.解：(1)因为bsinC?2csinBcosA=0，由正弦定理可得sinBsinC?2sinCsinBcosA=0，