第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年上海市静安区市北中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，抽到白球的概率为(????)
A.25 B.415 C.35
2.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是(????)
A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b)，使得函数
3.设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在
A.0 B.1 C.2 D.4
4.对任意实数x，恒有ex?ax?1≥0成立，关于x的方程(x?a)lnx?x?1=0有两根为x1，x2
A.x1+x2=2 B.x1
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.抛物线y2=4x的准线方程为______．
6.满足方程C18k=C183
7.如果双曲线x264?y236=1上一点P到焦点F1的距离等于
8.已知方程x2k+y216=1
9.若直线y=2x是双曲线x2?y2b2
10.函数f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线方程为______．
11.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种.
12.直线y=x+b被曲线y=12x2截得的弦长为42
13.若函数f(x)=x3?x2+ax?2在
14.已知f(x)=?x2+ax,x≤1ax?1,x1
15.已知有相同焦点F1、F2的椭圆和双曲线交于点P，|PO|=|F1F2|，椭圆和双曲线的离心率分别是e1、e2，那么1
16.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选四学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有______种不同的选择方法.(用数值作答)
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知圆C的圆心在直线2x?y?5=0上，且经过点A(0,3)，B(4,?1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过原点且与圆C相切的直线方程．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2x3?ax2?36x+b在x=?1处取得极值1．
(1)求a，b的值；
(2)
19.(本小题14分)
如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽4m.那么当水面下降1m后．
(1)水面的宽为多少？
(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值．
20.(本小题14分)
已知双曲线C：x2?y23=1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A(x1,y1)、B(x2,y2)为双曲线上的点．
(1)求右焦点F2
21.(本小题14分)
若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f′(x)和g′(x).且对任意x均有f′(x)≥g′(x)，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f′(x)=g′(x)的x0称为“导控点”．
(1)试问函数y=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？
(2)若函数y=23x3+8x+1是函数y=13x3+bx2+cx的“导控函数”，且函数y=13x3+bx2
参考答案
1.A?
2.D?
3.C?
4.B?
5.x=?1?
6.3或15?
7.22?
8.(0,16)?
9.2?
10.x?y?1=0?
11.36?
12.32
13.[1
14.(0,2)?
15.5?
16.3060?
17.解：(1)已知圆C的圆心在直线2x?y?5=0上，且经过点A(0,3)，B(4,?1)，
则线段AB的中点(2,1)，直线AB的斜率kAB=?1?34?0=?1，
则线段AB的中垂线斜率为?1kAB=1，方程为y?1=x?2，即y=x?1，
由y=x?12x?y?5=0，解得x=4，y=3，因此圆C的圆心C(4,3)，半径r=|AC|=4，
所以圆C的标准方程为(x?4)2+(y?3)2=16；
(2)过原点且斜率不存在的直线为x=0，点C(4,3)到直线x=0的距离为4=r，
即直线x=0与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx，即kx?y=0，点C(4,3)到该直线距离为|4k?3