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2024-2025学年江苏省扬州大学附属中学东部分校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(?2,1,2)，若a与b垂直，则|a|
A.5 B.7 C.3
2.曲线f(x)=ln(x+1)+2sinx在(0,f(0))处的切线方程为(????)
A.y=x B.y=2x C.y=3x D.y=4x
3.如图，三棱锥O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=3
A.?14a+13b+1
4.已知平面α的法向量为n=(x,1,?2)，平面β的法向量为m=(?1,y,12)，若α//β
A.?1 B.1 C.174 D.
5.已知空间中三点A(?1,0,0)，B(0,1,?1)，C(?1,?1,2)，则点C到直线AB的距离为(????)
A.63 B.32 C.
6.函数f(x)=x2ex?1
A.B.C.D.
7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，点E，F分别为线段BC与线段AD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为(????)
A.12B.?14
C.
8.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f′(x)1，则不等式ex?f(x)e
A.{x|x0} B.{x|x0}
C.{x|x?1，或x1} D.{x|x?1，或0x1}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有(????)
A.(cosπ6)′=?sinπ6 B.
10.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则(????)
A.AB⊥CD
B.MN=12
C.侧棱与底面所成角的余弦值为33
D.直线AM
11.对于函数f(x)=x2ex
A.f(x)在x=0处取得最小值
B.9eπe3π2
C.f(x)有两个不同的零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=?2lnx?1x的单调增区间为______．
13.已知a=(2,?2,0)，b=(k,0,3)，a，b夹角为2π3，则k=
14.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3+ax2?2x在x=1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；
(2)
16.(本小题15分)
在如图所示的平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=22，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，设AB=a，AD=b，AA1=c．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax?ex(a∈R)，g(x)=lnxx．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0,+∞)
18.(本小题17分)
如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．
(Ⅰ)若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；
(Ⅱ)求二面角B?PA?D的正弦值．
(Ⅲ)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为38，若存在，确定点Q
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+lnx
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处曲线的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x2?2x+2，若对任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈[0,1]
参考答案
1.C?
2.C?
3.B?
4.A?
5.C?
6.B?
7.A?
8.A?
9.BC?
10.AC?
11.ABD?
12.(0,1
13.?3?
14.ln2?
15.解：(1)由f(x)=x3+ax2?2x，得f′(x)=3x2+2ax?2，
因为函数f(x)在x=1处取得极值，
所以f′(1)=3+2a?2=0，解得a=?12，
故f(x)=x3?12x2?2x，定义域为R，
f′(x)=3x2?x?2，令f′(x)0，得x1或x?23，
令f′(x)0得?23x1，
故f(x)在(?∞,?23),(1,+∞)
x
(?1,?
?