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2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(3+i)z=i(i是虚数单位)，则|z|=(????)
A.15 B.55 C.
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是(????)
A.22
B.2
C.
3.在△ABC中，a=1，b=4，C=150°，则这个三角形的面积为(????)
A.23 B.2 C.3
4.已知直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=90°
A.33 B.23 C.
5.已知M是边长为1的正△ABC的边AC上靠近C的四等分点，N为AB的中点，则BM?MN的值是(????)
A.?12 B.?14 C.
6.已知e是单位向量，且|2e?a|=10，a+2e在e上的投影向量为5
A.π6 B.π4 C.π3
7.如图，在三棱锥P?ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD//平面PEF，则AFFC的值为(????)
A.1
B.2
C.12
D.
8.已知点G为三角形ABC的重心，且|GA+GB|=|GA?GB
A.45 B.35 C.25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，z1?为z
A.z1+z1?为实数
B.若|z1|=1，则|z1?2+i|
10.下列结论正确的是(????)
A.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC=a2，则下列说法正确的是(????)
A.a=1
B.若B+C=2A，则△ABC面积的最大值为34
C.若A=π4，且△ABC只有一解，则b的取值范围为(0,1]
D.O
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a=1，c=7，则b=______．
13.已知正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，
14.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则cos∠MPN的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(?1,3),b=(1,?2)．
(1)求|a+2b|；
(2)若(a?b)//(a+k
16.(本小题15分)
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1，e2为两个夹角成60°的单位向量，OA=e1+3e2，OB=5e1+e2．
(1)求|AB|
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M为B1C1的中点，设平面A1BM与底面ABC的交线为l．
(1)证明：A
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sinA+1sinB=26，且C=π3，c=6．
(1)
19.(本小题17分)
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范.书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理)，证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知△ABC满足AC=22，AB=2，设∠BAC=0(0θπ)，四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．
(1)当θ=π2时，求EQ的长度；
(2)求AQ
参考答案
1.C?
2.A?
3.D?
4.C?
5.A?
6.B?
7.C?
8.A?
9.AC?
10.ABC?
11.ABD?
12.3?
13.44?
14.4
15.
16.解：(1)已知e1，e2为两个夹角成60°的单位向量，OA=e1+3e2，OB=5e1+e2，
则AB=OB?OA=4e1?2e2，e1?e2=1×1×12=12，
则AB2=16e12?16e1?e2+4e22=16?8+4=12，
即
17.证明：(1)如图，连接AB1与A1B交于点O，连接OM
在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，
所以O为AB1的中