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2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2?i的虚部是(????)
A.1 B.?1 C.i D.?i
2.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(????)
A.6 B.8 C.2+32
3.如图，ABCD?A1B1C1
A.AB和C1D1
B.AA1和CC1
C.B
4.若向量a，b满足|a|=|b|=3，且|a?b|=
A.63b B.62b
5.△ABC中，∠B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为(????)
A.52 B.36 C.
6.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度，在地面上选择了一座高为tm的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(????)
A.2tsin(α+β)sin2αm B.
C.tsin(α+β)sinαcos
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2acos(C?π3)，则sin2A
A.23 B.2 C.
8.点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上，则AP?AB的最大值为(????)
A.33+12 B.3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是(????)
A.若|z1+z2|=|z1?z2|，则z1z2=0 B.
10.如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是(????)
A.直线AF与直线CN垂直
B.直线BM与直线CN相交
C.直线ME与直线CN平行
D.直线AB与直线CN异面
11.在△ABC中，tanB=3tanC，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子正确的是(????)
A.a=2ccosB
B.2ac≤b2
C.若△ABC是直角三角形，则S△ABC=32c2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台ABCD?A′B′C′D′的体积为14，若AB=2，A′B′=4，则正四棱台ABCD?A′B′C′D′的高为______．
13.如图，在△ABC中，AN=12NC，点P是线段BN上的一点，若AP=mAB+
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为?.若a=4，?=32，则bc的最小值为______；若?=36
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设复数z1=1?ai(a∈R)，z2=2+i．
(1)在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z1z2；
(2)若
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且AN=xAC，AM，BN相交于点P，设AB=a，AC=b．
(1)若x=13，试用向量a，b表示AM，MN；
17.(本小题15分)
如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l．
(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证：MN//平面PAD；
(3)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH//平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
18.(本小题15分)
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P?A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1(如图所示)，且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB=6，PO1=2，求该几何体的体积．
(2)
19.(本小题17分)
如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=θ．
(1)当θ=5π6，求四边形OACB的面积；
(2)当θ为何值时，线段OC
参考答案
1.B?
2.B?
3.D?
4.C?
5.C?
6.D?
7.D?
8.A?
9.BD?
10.AD?
11.BCD?
12.32
13.25
14.6?4?
15.解：(1)由题意可知，z1+z2=3+(1?a)i，
若复数z1+z2对应的点在实轴上，则z1+z2∈R，
可得1?a=0，即a=1，
所以z1z2=(1?i)(2+i)=3