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2024-2025学年江苏省苏州工业园区星海中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足z1?i=1+2i，则它的虚部为(????)
A.?1 B.1 C.?i D.i
2.已知平面向量a=(1,2)，b=(3,k)，若a⊥b，则
A.?32 B.6 C.32
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c?cosA，则△ABC的形状为(????)
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形 D.正三角形
4.把函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到函数y=sin(x+π3)
A.sin(x+712π) B.sin(x+3
5.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则csc10°?
A.3 B.23 C.4
6.已知平面向量a，b满足|a|=2，b=(1,1)，|a+b|=
A.(22,22)
7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则PA?PB的最大值为(????)
A.44 B.48 C.72 D.76
8.有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.9l米，则m的值是(????)
A.8110 B.27
C.2725
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bcosC=ccosB+4ccosC，A=π6，则ba的取值可能是
A.12 B.32 C.2
10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是(????)
A.若z1是纯虚数，则z120 B.若z12+z22=0，则z1
11.设函数f(x)=cos(ωx?2π3)(ω0)，已知f(x)在[0,π]上有且仅有
A.ω的取值范围是[196,256)
B.y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰有2个
C.y=f(x)的图象与直线y=?1在(0,π)上的交点恰有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinα?cosα=24，则cos
13.设z∈C，且|z+1|?|z?i|=0，则|z+2i|的最小值为______．
14.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，若b=2,4sinAsinC=33sinB，则△AEF
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a?b).求证：A，B
16.(本小题15分)
已知向量a=(2cosx,1)，b=(?cos(x+π3),12)，x∈[0,π2].
(1)若a//b，求x
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?b=2acosB．
(1)若b2?a2+c2?3c=0，且边BC的中线AD长为192，求
18.(本小题15分)
如图，正方形ABCD的边长为a(a1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF=1，记∠FEC=x(0xπ2)．
(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周长为x的函数g(x)，
(i)证明：g2(x)4?1=2f(x)；
(ii)求g(x)的最大值；
19.(本小题17分)
法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，33bsinA+acosB=c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F．
(1)求角A；
(2)若a=3，且△DEF