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2024-2025学年广东省清远市三校联盟高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z5+12i=13i，则z
A.?1213 B.?5i13
2.cos?15°=(????)
A.6?24 B.6
3.已知向量a=(2,1),b=(?2,4)，则
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在?ABC中，已知a2+b2
A.π6 B.π3 C.2π
5.要得到函数y=sin2x+π3的图象，只需将函数y=
A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度 D.
6.正方形O′A′B′C′的边长为2?，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是(????)
A.2 B.4 C.42
7.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t
A.H=50sin(π15t?π2)+60
8.如图所示，已知点G是?ABC的重心，过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点，且AM=xAB，AN=yAC，则2x+y的最小值为
A.22+33 B.22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,?2),b
A.若a与b垂直，则m=12 B.若a//b，则a?b的值为?5
C.若m=2，则a?b=2
10.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有(????)
A.若sin2A=sin2B，则?ABC为等腰三角形
B.已知(a+b+c)(a+b?c)=(2+3)ab，则C=π6
C.已知a=7，b=23
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=3，则下列结论正确的是(????)
A.圆锥SO的侧面积为9π
B.三棱锥S?ABC体积的最大值为9
C.∠SAB的取值范围是π4,π3
D.若AB=BC，E为线段
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若tanα=5，则tan2α=
13.若|z|=2，请写出一个符合条件的虚数z=??????????．
14.在?ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为?ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA?
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
在?ABC中，已知A=120°，a=6，
(1)求C；
(2)如D为AC的中点，求BD的长．
16.(本小题15分)
(1)已知向量a=(2,x)，b=(x,8)，若a?
(2)a、b的夹角为120°，a=1，b=3
17.(本小题15分)
已知sinα=1
(1)求cosβ
(2)求sin(2α?β)．
18.(本小题17分)
函数fx
(1)求fx
(2)已知函数gx=fx?sin2x
19.(本小题17分
如图所示，正四面体O?ABC棱长为4，A1，B1，C1分别在棱OA，OB，OC
(1)求BB
(2)求三棱锥O?BA1C1体积最大时
参考答案
1.D?
2.B?
3.D?
4.C?
5.C?
6.D?
7.A?
8.A?
9.BC?
10.BC?
11.BD?
12.?5
13.1+3i
14.[?4,6]?
15.解：(1)因为A=120°，且a=6，
根据正弦定理可得6sin
解得sinC=
又∵0C
故C=30
(2)由(1)可知A=120°，
由A+B+C=180°可得
因为D为AC的中点，所以AD=DC=c
在?BDC中，由余弦定理可得B
则BD
从而BD=
16.解：(1)设a、b的夹角为θ，则0≤θ≤π，易知a、b
因为a?b=?a?b，则
因为向量a=(2,x)，b=(x,8)，则x2
(2)因为a、b的夹角为120°，a=1，
由平面向量数量积的定义可得a?
因此，5a
17.解：(1)由题意得：
∵α∈(0,
∵cosβ=
(2)∵sin2α=2sin
∴sin(2α?β)=
=8
?18.解：(1)由图象可知fx的最大值是1，所以A=1
当x=0时，fx=12，可得sinφ=
当x=2π3时，fx有最小值?1，结合图知ω×