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2024-2025学年甘肃省兰州市第四片区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD
A.四边形ABCD一定是等腰梯形 B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是直角梯形 D.四边形ABCD一定是平行四边形
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，A=30°，则角B等于(????)
A.60°或120° B.30°或150° C.60° D.120°
3.向量a=(?1,2)，b=(?3,x)，若a⊥b
A.x=32 B.x=6 C.x=?2
4.在△ABC中，如果(a+b+c)(b+c?a)=3bc，那么A等于(????)
A.150° B.120° C.60° D.30°
5.已知cos(α?π3)=1213，其中α∈(
A.5+12326 B.12+5326
6.已知α，β∈(0,π2)，cos(α?β)=34，
A.π3 B.π4 C.π6
7.a、b、c分别是△ABC内角∠A，∠B，∠C的对边，若△ABC的周长为4(2+1)，且sinB+sinC=2
A.2 B.2 C.4 D.
8.在△ABC中，AD=2DB，P为CD上一点，且AP=mAB+1
A.12 B.13 C.14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,?1)，b=(2,x)，设a与b的夹角为α，则(????)
A.若a//b，则x=?2 B.若x=1，则|b?a|=5
C.若x=?1，则a与b的夹角为60°
10.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(????)
A.sin(B+C)=sinA
B.cos(B+C)=cosA
C.若a2+b2=c2，则
11.已知函数f(x)=3sinωx?cosωx(ω0)的最小正周期为π，则以下命题正确的有
A.ω=2
B.函数f(x)的图象关于直线x=?π6对称
C.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称
D.若方程f(x)=34在(0,π)上有两个不等实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点P(3,1)是角α终边上的一点，则cos2α的值为______．
13.计算tan72°?tan42°?33tan72°tan42°=
14.已知向量a与b的夹角为23π，且|a|=2，|b|=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2．
(1)求a?b；
(2)|
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠DAB=π3，点E是AB的中点，连接DE，AC，AB=4记它们的交点为点G，设AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示AG；
(2)
17.(本小题15分)
如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(3?1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时156海里的速度前往缉捕．
18.(本小题17分)
在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC
19.(本小题17分)
已知点P(3,1)，Q(cosx,sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=OP?QP．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)若A为△ABC的内角，f(A)=4，
参考答案
1.D?
2.A?
3.D?
4.C?
5.A?
6.D?
7.C?
8.B?
9.ABD?
10.AC?
11.ABC?
12.45
13.3
14.?
15.解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2，
则a?b=|a||b|cos?a,b?=2×2×22=2；
(2)|a?b|=(a?b)2=a2+b2?2a?b=4+2?4=2；
(3)设向量a?b与向量a的夹角θ
17.解：(1)由题意可得∠ABC=15°+180°?75°=120°，
设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=156t海里，BC=15(3?1)t海里，
AB=60海里，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC，
即(1