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2024-2025学年北京市某中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3+a
A.1 B.?1 C.2 D.?2
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=1，
A.40 B.30 C.13 D.50
3.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(????)
A.24 B.18 C.12 D.9
4.若数列{an}满足an=an?1
A.16 B.20 C.24 D.28
5.如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列说法正确的个数是(????)
①f(x)在区间[?2,?1]上是增函数；
②x=?1是f(x)的极小值点；
③在区间[?1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x=1是f(x)的极大值点．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.已知函数f(x)=xcosx?sinx，则f′(π2)的值为
A.π2 B.?π2 C.?1
7.若函数f(x)=x+3x(x≤0)13
A.a163 B.a163 C.
8.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q0，乙：
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知x0(x0≠0)是函数
A.?x∈R，f(x)f(x0)
B.f(x)一定存在极小值点
C.若a=0，则?x0是函数f(x)的极小值点
10.已知数列{an}满足a1=a(a0)，an+1an=an+1，给出下列三个结论：
①不存在a，使得数列{an}单调递减；
②对任意的a，不等式an+2+a
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有______个.(用数字作答)
12.设函数f(x)=x+lnx，已知直线l为曲线y=f(x)的一条切线，且直线l的斜率为2，则直线l的方程为______．
13.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=??????????，数列{a
14.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．
15.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹?布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是______．
①函数f(x)=sinx有3个不动点；
②函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)至多有两个不动点；
③若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根；
④设函数f(x)=e
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知数列{an}为等差数列，且满足a2=0，a6=12，数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=1，bn+1=2Sn+1．
(1)求数列{
17.(本小题12分)
设函数f(x)=13x3?x2?3x+1．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ
18.(本小题12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an=Sn+Sn?1(n∈N?且
19.(本小题13分)
若函数f(x)=x+1ex．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；
(2)判断方程f(x)=12解的个数，并说明理由；
(3)当a0，设
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax?lnx?a，且f(x)≥0．
(1)求a；
(2)设g(x)=x?f(x)，证明：g(x)存在唯一的极大值点x0
21.(本小题13分)
已知{an}是无穷数列，给出两个性质：
①对于{an}中任意两项ai，aj(ij)，在{an}中都存在一项am，使得2ai?aj=am．
②对于{an}中任意一项an(n?3)，在{an}中都存在两