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2024-2025学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点P(2,2)且与直线x+2y+1=0平行的直线的方程为(????)
A.2x+y?6=0 B.2x+y+6=0 C.x+2y?6=0 D.x+2y+6=0
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=30，
A.54 B.63 C.72 D.135
3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(????)
A.若m?α，n?β，α//β，则m//nB.若m//n，n?α，则m//α
C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥αD.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
4.已知函数f(x)=x+cosx，则下列选项正确的是(????)
A.f(2)f(π)f(e) B.f(π)f(e)f(2)
C.f(e)f(2)f(π) D.f(2)f(e)f(π)
5.已知直线l：kx?y+1?k=0和圆C：x2+y2?4x=0，则直线l与圆
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
6.设f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x0
A.6 B.?2 C.?18 D.2
7.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M(x0,y0)
A.x0∈(0,2) B.y0∈(0,2) C.
8.已知等比数列{an}单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn，则“a3a13≥
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
9.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，函数g(x)=kx+m(m0)，则对函数F(x)=g(x)?f(x)描述正确的是(????)
A.有极小值点，没有极大值点
B.有极大值点，没有极小值点
C.至少有两个极小值点和一个极大值点
D.至少有一个极小值点和两个极大值点
10.已知函数f(x)=|x?1|ex与直线y=1交于A(x1,y1)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知f(x)=sin(2x+π3)，则
12.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1
13.已知双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0的左焦点为F，点F
14.数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak?1且ak≥ak+1”成立，(k≥2,k∈N?)，则称ak为
15.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an?12an2，给出下列四个结论：
①数列{an}的前n项和Sn2；
②数列{an}的每一项a
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)若2a?1≤f(x)
17.(本小题8分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
(1)求证：D1F//平面
18.(本小题10分)
???已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距和长半轴长都为2。过椭圆C的右焦点F作斜率为k(k≠0)
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x=4相交于点M，N。求证：以MN为直径的圆恒过点F。
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx?x?1x+1(a∈R)．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)若a≥12，求证：当x≥1时，f(x)≥0；
(Ⅲ)若函数f(x)有3个不同的零点，求
参考答案
1.C?
2.B?
3.D?
4.D?
5.A?
6.B?
7.C?
8.B?
9.C?
10.B?
11.?
12.1，?2，4(答案不唯一)?
13.y=±1
14.10?(?∞,1
15.②③?
16.解：(1)因为f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)，
则f′(x)=3x2?6x?9=3(x+1)(x?3)
x
(?∞,?1)
?1
(?1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
?
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
所以，函数f(x)的增区间为(?∞,?1)、(3,+∞)，减区间为(?1,3)，
函数f(x)的极