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2024-2025学年北京市大兴区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数i3的值是(????)
A.?i B.1 C.?1 D.i
2.sinπ12=
A.6+24 B.6
3.已知向量a=(1,m)，b=(?1,m)，且a⊥b，则
A.2 B.3 C.2
4.函数f(x)=2sinx+cosx的最大值是(????)
A.3 B.3 C.5
5.已知复数z在复平面内对应的点为(?2,1)，则|z|2=
A.3 B.3?4i C.5?4i D.5
6.在△ABC中，“cosAcosB”是“sinAsinB”成立的(????)
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，∠DAB=60°，E为BC边上一点，且满足BE=2CE，若AD?AB=4，则AE
A.?4 B.?8 C.4 D.8
8.设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转θ后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为(a,b)，则A的坐标为(????)
A.(acosθ+bsinθ,bcosθ?asinθ) B.(bcosθ?asinθ,acosθ+bsinθ)
C.(asinθ+bcosθ,acosθ?bsinθ) D.(acosθ?bsinθ,asinθ+bcosθ)
9.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足
A.23
B.43
C.4?2
10.在△ABC中，AB=5，AC=6，cosA=15，O是△ABC的内心，若OP=x??OB+y??OC，其中
A.1063 B.1463
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知sinθ?cosθ=12，则sin2θ=______．
12.已知复数z=2+i1+i，则z+z?
13.如图，梯形A′B′C′D′是水平放置的平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则在平面图形ABCD中，AB=______；图形ABCD的面积为______．
14.在水流速度大小为10km/?的河中，如果要使船实际以103km/?大小的速度与河岸成直角横渡，则船速大小应设定为______km/?
15.已知△ABC中，c=10，bcosC+ccosB=2，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，给出下列四个结论：
①若(AB+AC)?BC=0，则|AB+AC|=6；
②若CA在CB方向上的投影向量为CB，则|PQ|的最小值为104；
③若|BQ?
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知复数z1=(a2?2)?(2a+4)i，z2=a?(a2+1)i，a∈R．
(Ⅰ)当a=0时，求|z1
17.(本小题14分)
已知sin(α+π4)=7210，α∈(0,π4)．
(Ⅰ)求
18.(本小题14分)
在△ABC中，asinB=2bsin(B+C)cosB．
(Ⅰ)求∠B的大小；
(Ⅱ)若a=8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求BC边上中线的长．
条件①：b=7；条件②：cosA=?23；条件③：△ABC的面积为103．
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得
19.(本小题14分)
已知平面四边形ABCD的边长满足AB=AD，BC=1，CD=3，且∠A=2π3．
(Ⅰ)若cos∠CDB=336，求∠CBD的大小；
(Ⅱ
20.(本小题14分)
如图，在正四棱锥S?ABCD中，侧棱SA长为1，记∠ASB=α，其体积记为f(α)，表面积记为g(α)．
(Ⅰ)求f(π3)的值；
(Ⅱ)求g(α)的解析式，并直接写出α的取值范围；
(Ⅲ)试判断
21.(本小题15分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0απ)角的两条射线，e1,e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系.在α仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，记OP=(x,y)．
(1)在α仿射坐标系中，
①若a=(m,n)，求|a|；
②若a=(?1,2),b=(?2,1)，且a，b的夹角为π3，求cosα；
(2)如图所示，在π3仿射坐标系中，B，C分别在
参考答案
1.A?
2.B?
3.A?
4.C?
5.D?
6.C?
7.B?
8.A?
9