第4讲概率的计算
知识要点
一、事件的相关概念
1．事件
（1）必然事件：在一定条件下一定会发生的事件
（2）不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件
（3）随机事件：在一定条件可能发生也可能不发生的事件
注：概率所研究的随机事件是指尚未发生的事件
2.事件之间的关系
互斥事件：不可能同时发生的两个事件
对立事件：必有一个发生的两个互斥事件
相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
3.事件的运算
事件的和（A+B）：在同一试验下，事件A或事件B中至少有一个发生
事件的积（A·B）：在同一试验下，事件A与事件B都发生
二、概率的计算
1.概率的取值范围：0≤P（A）≤1；
2.概率的加法与乘法公式
事件A，B互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)
事件A，B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)
3.n重独立重复试验
(1)独立重复试验指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验．
(2)一般地，如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立
重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，它是
展开式的第k+1项.
例假设某人投篮命中的概率为0.6，且每次命中与否相互独立，那么
他投篮4次恰好命中两次的概率是多少？
4.古典概型的概率：
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
5.几何概型
在几何概型中事件A的概率计算公式：
注1：几何概型与古典概型的主要区别就是可能的结果是有限种还是无
穷多种
注2：在几何概型中，概率为0的事件不一定不发生，概率为1的事件
也有可能不发生.
注3：常见的几何度量主要是指长度、面积与体积.
典型例题分析
例1如图，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱3
等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，
将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。
（1）从这个口袋中任意取出1个正方体，这个小正方体的表面恰好没
有颜色的概率是多少？
（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好
有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？
解析：
例2袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，
求下列事件的概率：
（1）A：取出的2个球都是白球；
（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球.
解析：
例3如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、
黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫做“黄心”。奥运会的比赛靶
面直径是122cm，靶心直径是12.2cm，运动员在70米
员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”
的概率是多少？
解析：
例4两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到
者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00
各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.
解析：
例5某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，
0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率.
解析：