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广东省佛山市南海中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（????）
A．33 B．31 C．39 D．27
2．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（???）
A．6 B．2 C．3 D．
3．已知函数，则（???）
A．1 B． C．2 D．
4．函数在上的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）
A． B． C．1 D．2
8．2160的不同正因数个数为（????）
A．42 B．40 C．36 D．30
二、多选题
9．下列求导正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（????）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
11．设函数，则（???）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.
13．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是．
14．函数上的点到直线的最短距离是．
四、解答题
15．已知函数．
(1)写出函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值、最小值．
16．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
19．已知函数在处取得极值
(1)求实数的值
(2)求证：
(3)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
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《广东省佛山市南海中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
A
A
C
D
B
AC
AB
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】对运动方程求导，得到导函数，导函数中代入时间数据，即得到物体的瞬时速度.
【详解】由已知可得，所以，
所以时物体的瞬时速度是.
故选：.
2．A
【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，，
即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.
故选：A
3．A
【分析】其中为常数，进而求出函数的导函数，代入即可求解．
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：.
故选：A．
4．A
【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
5．A
【分析】由原函数求出导函数，由题意得出方程有两相异根，由根的判别式求得范围并检验即得.
【详解】由求导得，
因函数在上既有极大值也有极小值，故必有两个相异实根，即，解得.
不妨设方程的两根为且则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增，
即在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.
故选：A.
6．C
【分析】首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.
【详解】令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以（当且仅当时取等号）；
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以（当且仅当时取等号）；
对于①：当时，所以，故①正