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广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（????）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．已知与为非零向量，，若三点共线，则（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（????）
A． B． C． D．或
4．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（????）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，，，则（????）
A． B． C． D．
7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（）
A．点P所满足的函数表达式为
B．点P第一次到达最高点需用时5秒
C．P再次接触水面需用时10秒
D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（????）
A．若A＞B，则
B．若，则有两解
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（????）
A．
B．
C．在上的投影向量为；
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
三、填空题
12．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则.
13．“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高．
14．在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则；若，，则△ABC面积的最大值为．
四、解答题
15．已知，，且．当为何值时，
(1)向量与互相垂直；
(2)向量与平行.
16．如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点.
(1)求；
(2)求的值.
17．如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）.
(1)求证：为定值；
(2)设的面积为，的面积为，求的取值范围.
18．已知向量，函数．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)若，且，求的值；
(3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
19．在中，，，对应的边分别为，，，
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
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《广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
B
B
C
B
B
BC
ACD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故