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河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为虚数单位，，若，则（????）
A． B．
C． D．
2．在中，设，若，则（????）
A． B．
C． D．
3．已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（????）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
4．已知向量满足，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
6．在中，已知，点在线段上，若，则（????）
A．2 B． C．3 D．
7．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（????）（参考数据：）
?????
A． B． C． D．
8．已知向量，则的最大值为（????）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（????）
A． B．
C． D．
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（????）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（????）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
三、填空题
12．已知复数满足，则.
13．定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则.
14．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为.
四、解答题
15．已知向量.
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值.
16．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
(3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
17．在中，内角所对的边分别为的面积为.
(1)求角的大小；
(2)若的平分线交于点，求的长度.
18．某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设.
(1)用表示的面积，并求的最大值；
(2)为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：）
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
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《河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
D
C
A
B
AC
ACD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由，化简得
所以.
故选：C
2．D
【分析】由已知条件结合向量的线性运算即可得答案.
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
3．B
【分析】由复数z的实部与虚部互为相反数可设，利用复数的乘法运算化简即可求得a的值，则答案可求.
【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数，
可设，则，
，
解得，
所以或，
故选：B.
4．A
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选：A．
5．D
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或