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湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（????）
A． B． C． D．
3．若向量满足，若，间的夹角为，则为（????）
A． B． C． D．
4．的展开式中，含的项的系数为（????）
A．240 B． C．560 D．360
5．已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（）
A．0 B．1 C． D．
6．已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（???）
A． B． C．4 D．8
7．函数y=x2㏑x的单调递减区间为
A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（????）
A．3 B． C． D．2
二、多选题
9．已知函数则下列说法正确的是（????）
A．的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．若，则
10．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（????）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．
11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（???）
A．直线与直线所成的角为90°
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．平面
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为．
13．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则．
14．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)若，的面积为，求.
16．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．
(1)求证：；
(2)当为的中点时，求与所成角的余弦值；
(3)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值．
17．食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌（由A，B两个不同的产地生产）的“预制食品”的某些指标进行检测，随机从A，B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测，依据检测相应指标的相关数据，将其划定为“优良”和“合格”两个级别，记录相关数据得到如下2×2列联表：
单位：个
级别
产地
合计
A
B
优良
20
15
35
合格
10
15
25
合计
30
30
60
(1)依据小概率值的独立性检验，分析“该食品的指标等级与产地”是否有关?
(2)该超市对该“预制食品”进行打包促销，对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式，若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”，经检测显示恰有4个为优良级别，试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率（该超市A，B两个产地的售出量之比为3:2，以列联表中产品的优良的频率代替各自产品优良的概率）.
参考公式和数据：，其中.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积.
19．若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为.
(1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列；
(2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．
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《湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
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4
5
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