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湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（????）
A． B．5 C． D．
2．设，则，，则，，的大小关系是（????）．
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（????）
A． B． C． D．
4．已知点，，．则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（????）
A． B． C． D．
6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（参考数据：，）（???）
A．年 B．年 C．年 D．年
7．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
8．在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（????）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．设、为复数，则下列说法正确的是（????）
A．若，则 B．
C． D．若，则
10．已知向量，，则下列说法正确的是（????）.
A．若，则 B．若，的值为
C．的取值范围为 D．存在，使得
11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（????）
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D．若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
三、填空题
12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是.
13．设复数，，则的取值范围是．
14．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为.
??
四、解答题
15．设三角形的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，.
(1)求三角形外接圆半径；
(2)若三角形的面积为，求的值.
16．已知向量，满足，.
(1)若，求与的夹角；
(2)若对任意的实数，恒成立，求与的夹角.
17．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5nmile，与小岛D的距离为nmile，为钝角，且.
(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；
(2)记为，为，求的值.
18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.
(1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
(2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
(3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.
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《湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
C
B
C
B
B
BC
AB
题号
11
答案
BC
1．A
【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可．
【详解】因为，
所以，
故选：A．
2．B
【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.
【详解】，所以有，
因为，所以有，
故选：B
3．A
【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】关于的一元二次方程有实数解，
则，解得，
结合选项可知的一个必要不充分条件的是.
故选：A.
4．C
【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
5．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，