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江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（???）
A． B．2 C． D．1
2．在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（????）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，且，则（???）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（???）
A．2 B．1 C． D．
5．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（???）
A．24 B．48 C．144 D．240
6．在平面直角坐标系xOy中，，若对任意实数k，直线上总存在点M使得，则b的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
7．将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（????）
A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种
8．若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（???）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（???）
A．不存在点E，使平面
B．存在点E，使平面
C．若点E为中点，则点C到平面的距离为
D．二面角夹角最大时，
11．已知曲线和相切，且曲线和抛物线围成封闭曲线，过的焦点的动直线与交于两点，过线段的中点作垂直于的准线的直线，垂足为为坐标原点，则下列说法正确的是（????）
A． B．的最大值为
C．不大于点到轴的距离的4倍 D．若的斜率为，则
三、填空题
12．若，则的值为．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为.
14．将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为．
四、解答题
15．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不担任物理课代表；
(3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表．
16．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)求直线到平面的距离.
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的取值范围.
18．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)求反比例函数曲率的平方的最大值.
(3)已知函数，求曲线的曲率的范围．
19．如图，在三棱台中，，点为棱的中点，，且直线与平面所成的角为.
(1)证明：；
(2)求平面与平面成角的余弦值.
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《江苏省泰州中学2