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江西省抚州市临川第三中学2024-2025学年高三（实验部）下学期3月考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设为虚数单位，则（???）
A．5 B． C． D．
2．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，的系数等于（????）
A．280 B．300 C．210 D．120
4．已知的内角所对的边长分别为，且的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论不正确的是（????）
A． B． C． D．
5．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（???）
A． B． C． D．
6．已知圆，点是直线上的点，则（）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上不存在点到直线的距离为2
C．从点向圆引切线，切线长的最小值为
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
7．已知实数满足，其中e是自然对数的底数，则（????）
A．2 B．e C．3 D．4
8．已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（???）
A．已知是事件与事件相互独立的充要条件
B．已知，则
C．已知是事件与事件互斥的充要条件
D．已知，则
10．已知等差数列的前项和，则（????）
A． B．是递增数列
C．数列的前9项和为58 D．
11．函数，则（????）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是
D．的零点是
三、填空题
12．在的展开式中，含项的系数为．
13．在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为．
14．足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有支队伍，则该组需要进行场比赛．按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则．
四、解答题
15．已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
16．在中，内角所对的边分别为，.
(1)求；
(2)若点在线段上，且，求.
17．如图，三棱锥中，，且，.
(1)当三棱锥的体积最大时，
①求证：；
②求其外接球的表面积；
(2)设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值.
18．通过研究，已知对任意非零平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
(1)已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知曲线是函数的图象，它是某双曲线绕原点逆时针旋转后得到的，求的离心率；
(3)已知曲线是由某椭圆绕原点逆时针旋转后所得到的斜椭圆，过点作与两坐标轴都不平行的直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
19．已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴．
(1)若，写出一组，，，使得和关于3相伴；
(2)是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由；
(3)证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，．
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《江西省抚州市临川第三中学2024-2025学年高三（实验部）下学期3月考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
C
C
D
C
ACD
BCD
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可利用模长公式求解.
【详解】,
故选：B
2．C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，
又，所以.
故选：C
3．D
【解析】先找出每项中含有的项，利用组合数的性质即可得出结果．
【详解】在的展开式中，
项的系数为
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问