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江西省抚州市资溪县第一中学2024—2025学年高三下学期春季检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点在第（????）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．设集合，则（????）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，的系数为（???）
A． B． C．40 D．80
4．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（????）
A．3 B． C． D．
5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A． B． C． D．
6．已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
9．高中数学多选题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.假如每道多选题正确答案是2个选项的概率为，正确答案是3个选项的概率为.小明同学对一道数学多选题没有思路，但是他可以断定B选项是错的（此题答案确实不含B选项），下列说法正确的是（????）
A．单选A得2分的概率为
B．单选A得3分的概率为
C．从剩下三个选项中随机选两项得6分的概率为
D．剩余三个选项都选的得分期望为4
10．已知数列满足，，则（????）
A．
B．是等差数列
C．一定是等比数列
D．数列的前99项和为
11．已知函数，则下列选项正确的是（????）
A．函数的图像关于轴对称
B．函数分别在区间递减，递增
C．对恒成立
D．对恒成立
三、填空题
12．二项式的展开式中的系数是.
13．棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为．
14．在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”.我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为.
①有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和.
②.
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．
16．已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的值．
(2)若，求周长的取值范围．
17．空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；
(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左?右顶点，的一点.
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.
19．若数列满足：对任意正实数，都存在正整数，当时，都有成立，则称数列为“收敛”数列.已知集合，若集合的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素差的绝对值大于1，则称该子集为集合“隔离”子集.记的“隔离”子集的个数为个.
(1)求和的值；
(2)若，探究之间的关系，并证明；
(3)设，证明；数列是“收敛”数列.
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《江西省抚州市资溪县第一中学2024—2025学年高三下学期春季检测数学试题》参考答案
题号
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4
5
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8
9
10
答案
D
D
B
A
B
C
C
B
ABD
BC
题号
11