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陕西省镇安中学2024-2025学年高三下学期第五次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则（???）
A． B．
C． D．
2．设函数，则下列结论正确的是（????）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点，对称
C．把函数的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．函数的最小正周期为，且在，上为增函数
3．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（????）
A． B．的虚部为
C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为
4．已知为等差数列的前项和，，则（????）
A．240 B．60 C．180 D．120
5．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．[3，5]
6．函数在区间上的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
7．两圆锥母线长均为3，体积分别为，侧面展开图面积分别记为，且，侧面展开图圆心角满足，则（????）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且，则（????）
A． B．
C．是增函数 D．是减函数
二、多选题
9．的展开式中，下列结论正确的是（???）.
A．展开式共7项 B．含项的系数为480
C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128
10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（????）
A．存在点使得直线∥平面
B．存在点使得直线平面
C．存在点使得的周长为
D．存在点使得三棱锥的体积大于
11．设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（????）
A．为递减数列 B．
C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047
三、填空题
12．已知向量的夹角为，且，则
13．已知椭圆的左、右焦点为，右顶点为为上一动点（不与左、右顶点重合），设的周长为，若，则的离心率为．
14．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
(1)试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
16．锐角的三个内角是，满足，的外接圆的圆心为，半径是1.
(1)求角的大小及的值；
(2)求的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为.
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
18．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围.
19．已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足.
①求点的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.
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《陕西省镇安中学2024-2025学年高三下学期第五次月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D