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上海市敬业中学2024-2025学年高三下学期2月阶段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知，则
2．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为（填“”或“?”或“?”）.
3．已知随机变量服从正态分布，若，则.
4．已知随机变量，且，则.
5．已知随机变量的分布列为：，若，且，则.
6．某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为．
7．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为.
8．某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为．
9．设，，集合是中任取2个元素组成的集合，则的概率为（结果用分数表示）.
10．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则.
11．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为．
12．已知是平面内两两互不相等的向量，满足且（其中），则的最大值为．
二、单选题
13．若随机变量，且，，则等于（???）
A． B． C． D．
14．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（????）
A．； B．；
C．； D．.
15．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（????）
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
16．a、b、n均为正整数，A袋子中有a个白球，b个黑球(大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y.下列选项中一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
三、解答题
17．如图，长方体中，，.是棱上一点，且，交于点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
18．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）.
(1)求的值；
(2)求这组数据的第75百分位数；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望.
19．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
20．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这