河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（????）
A．1 B．2 C．i D．
2．若为的边的中点，则（????）
A． B．
C． D．
3．在中，内角满足，则的形状为（????）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
4．下列命题中正确的是（????）
A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
5．当复数z满足时，则的最小值是（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，PA为球O的直径，且，则点P到底面ABC的距离为（????）
A．4 B． C． D．
7．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（????）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（????）
A．复数在复平面对应的点在第一象限
B．若复数，满足，则
C．为纯虚数，则实数
D．复数z满足，则
10．下列说法中正确的是（????）
A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B．若平面向量，，则在上的投影向量是
C．两个非零向量，，若，则与垂直
D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为
11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（????）
A．的取值范围是
B．若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D．若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．向量，，且，则．
13．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为．
14．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，满足，，．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．如图，正方体的棱长为，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)设与交点为，求三棱锥的体积．
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
(1)求角；
(2)若，，求的周长．
18．（1）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
（2）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得，，，，同时测得海里．求C，D之间的距离．
19．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.
（1）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积；
（2）已知，，，设.
①若，求MN的长；
②求面积的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，
所以的虚部为.
故选：A.
2．【答案】B
【详解】解：因为为的边的中点，
所以，根据向量加法法则得，
所以.
故选：B
3．【答案】B
【详解】，
故，即，
因为，所以，
故为等腰三角形.
故选：B
4．【答案】B
【详解】对于A，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，
其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，
若以斜边所在直线为旋转轴，得到的是同底的两个圆锥的组合体，故A错误.
对于B，根据棱柱的定义可知，棱柱的上下底面互相平行，故B正确，
对于C，如图，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点，
所以有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，C错误，
对于D，如图，三棱锥中，，满足底面是等边三角形，
三个侧面，，都是等腰三角形，
但长不一定等于，即三条侧棱不一定全相等，故D错
故选：B.
5．【答案】B
【详解】设，复数满足，
所以，表示到点的距离为1，
所以到原点的距离的最小值为，即的最小值是4.
故选：B
6．【答案】A
【详解】