龙岩市2024~2025学年第一学期期末高一教学质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．
1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A． B．
C． D．
2．若角终边上一点，则（）
A． B． C． D．
3．若函数的定义域为，则“在上单调递增”是“在上的最大值为”的（）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，，，则它们的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．若幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（）
A． B． C． D．
6．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示．已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（）
A． B．
C． D．
7．若，，则的值为（）
A． B．0 C． D．1
8．若函数，则函数的零点个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9．已知函数，则（）
A．的最小正周期为
B．将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像
C．的一个对称中心是
D．当时，函数的值域是
10．已知，，且，则（）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（）
A．函数为单调减函数
B．
C．若，使得成立，则
D．函数（且的图像与函数的图像的所有交点纵坐标之和为20
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．______．
13．函数（，）在一个周期内的图像如图所示，则______．
14．若函数的值域为，且，则的最大值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意的都有成立，求实数的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，，求的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值．
18．（本小题满分17分）
已知函数，其中，．
（1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值；
（2）若，且存在，，使成立，求的取值范围；
（3）若，，且不等式对恒成立，求的值．
19．（本小题满分17分）
双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
（1）证明：；
（2）求证：函数存在唯一零点且；
（3）令，对任意，，都有，求实数的取值范围．
龙岩市2024～2025学年第一学期期末高一教学质量检测数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
B
C
D
B
A
A
B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
题号
9
10
11
选项
AC
ACD
BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
11．[解析]
对于A，易知当时，，时，
因此可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误；
对于B，易知函数满足，因此可得关于对称，
即B正确；
对于C，由，即，
即在有解，易知,
所以可得，解得，即C错误；
对于D，画出函数以及的图像如下图所示：
易知也关于对称，的周期为4，
一个周期与有两个交点，所以与在共20个交点，即，故D正确．
故选：BD．
14．[解析]
，因为，所以，
所以函数值域为，故，
则
因为，当且仅当时取等号，
所以．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．（本小题满分13分）
解：（1）证明：取任意，，且，
有
由，可得，
，即，
所以在上单调递增．（2）由在上单调递增，
可得在上，
依题意得，
又，当且仅当，
即时取等号，
所以，解得
所以实数的取值范围是
16．（本小题满分15分）
解：（1）， 3分
由，得，又，所以. 6分（2）由得，所以 7分
又，所以. 8分
由于，故，，，
所以，，故， 10分
，
所以
，
又因为
故．
17．（本小题满分