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2024-2025学年天津市静海区第六中学高一下学期第二次阶段性检测数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，则复数21+i
A.1?i B.1+i C.12
2.已知a→=(1,2),b→
A.a+b=0 B.a?b
3.已知向量a=(x,1),b=(1,?2)，且a⊥
A.5 B.10 C.2
4.已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(????)
A.24 B.64 C.
5.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(????)
A.4 B.32 C.2
6.若直线l//平面α，直线a?α，则(????)
A.l//a?????????????????????????????B.l与a异面C.l与a相交D.l与a没有公共点
7.已知正四面体的所有棱长均为a，且其体积为13，则a=(????)
A.2 B.23 C.4
8.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=6，b=4，C=2B，则?ABC的面积为(????)
A.3152 B.152
9.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径AB=16米，母线长AD=4米，圆锥的高PQ=6米，则该蒙古包的侧面积约为(????)
A.336π平方米 B.272π平方米 C.208π平方米
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.i是虚数单位，复数4+2i1?i
11.正方体的表面积是96，则该正方体的体积为??????????．
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=??????????．
13.向量a=(?1,2)在向量b=(1,1)上的投影向量为??????????.(写出坐标
14.已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB=60°，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为??????????．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°,?AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD?AB=?32，则实数λ的值为??????????
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知i是虚数单位，复数z=
(1)当m=1时，求|z|；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
计算题
(1)已知i是虚数单位，化简7?5i
(2)已知向量a=1,1,b=
(3)?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3
18.(本小题15分)
求下列几何体的体积或表面积
(1)长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积；
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为
(3)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少?
19.(本小题15分)
在?ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE
(1)用a,b表示
(2)若AB⊥DE，求∠
20.(本小题15分)
在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知a=
(1)求c的值；
(2)求sinB
(3)求sin(2A?B)的值．
参考答案
1.A?
2.B?
3.B?
4.C?
5.D?
6.D?
7.D?
8.C?
9.D?
10.1+3i
11.64?
12.75°
13.12
14.4
15.16?；
16.解：(1)当m=1时，z=?5?i
(2)因为z是纯虚数，则m2+2m?8=0m?2≠0
(3)因为z=m2+2m?8
由题知m2+2m?8
所以实数m的取值范围为(?4,2)．
17.解：(1)由题意可得：7?5i
(2)若a与b的夹角是钝角，可知a?b0，且
则?1+k0k≠?1，解得k
所以实数k的取值范围为(?∞,?
(3)由正弦定理asinA=
且B∈0,2
18.解：(1)设外接球的半径为r，
可知外接球直径即为长方体的体对角线，则r=1
所以球的表面积为4π
(2)如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即
设球的半径为R，则4πR3
则AB=AD+BD=4BD=4，可得BD=1，AD=3，
因为CD⊥AB，