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2024-2025学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1(1?i)2，则
A.?2 B.2 C.?12
2.已知tan(α+β)=3，tan(α?β)=2，则tan2α=(????)
A.?1 B.7 C.17 D.
3.在△ABC中，点D在线段BC上，且BC=3BD，E是线段AB的中点，则DE=
A.?13AC+16AB B.
4.在△ABC中，BC=8,AC=10,sin∠BAC=45，则△ABC
A.6 B.8 C.24 D.48
5.已知α∈(0,π)，sin(3π2?α)=?2+
A.3?14 B.3+14
6.设向量a，b是非零向量，且|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量为?2b，若(λa
A.12 B.13 C.23
7.如图，在C处(点C在水平地面ABO下方)进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点A，B相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.在A地测得最高点H的仰角∠HAO=30°(O为CH与水平地面ABO的交点)，在A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC=15°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(????)
A.210(6+2)米 B.1406米
8.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=26,ccos(A?B)+23asinBcosC=?ccosC，则AB
A.12 B.22 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a,b,c
A.若a⊥b，则|a+b|=|a?b|
B.若|a|=|b|
10.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2+b2?c
A.A=π4 B.a=2，b=3 C.a=2，c=3 D.b=3
11.已知函数f(x)=cos4x+sin
A.π是f(x)的一个最小正周期 B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,π4)上单调递减 D.x=?
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=i2025(1?i)?a为纯虚数，则实数a
13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度MN，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为10m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A和文峰塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得塔顶部M的仰角为15°，则文峰塔的高度为______．
14.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，b=4，c=5，且有cos2(π2+A)+cosA=54.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m+2+(m?2)i(m∈R)．
(1)若复数z在复平面上对应点落在第一象限，求实数m的范围；
(2)z?为z的共轭复数，且z+z?=6.若z?3i是关于x
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，sin∠BAC+3cos∠BAC=0，AB=4，BC=27．
(1)求AC的长；
(2)设D为
17.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，角α、β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α、β的终边与单位圆分别交A、B两点，点C是单位圆与x轴正半轴的交点．
(1)当A(55,255)，B(?7210,210)
18.(本小题17分)
如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足AO=2OD，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点．
(1)求证：AO=13AB+13AC；
(2)设AM=mAB，AN=nAC，m0，n0
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cos2A?cos2B=(sinC?sinA)sinC．
(1)求角B的大小；
(2)若c=1，求△ABC面积的取值范围；
(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.若△ABC的面积为3，是否在△ABC内部存在费马点P，使得
参考答案
1.D?2.A?3.D?4.C?5.A?