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2024-2025学年北京市丰台区高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数z=1?3i对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.OA+
A.CB B.BC C.AC D.CA
3.用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为2，则其直观图的面积是(????)
A.1 B.2 C.2 D.
4.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则AE=(????)
A.12AB+AD B.12AB
5.已知a=2cos246°?1，b=
A.cab B.bac C.bca D.cba
6.已知a=2，b=1，且a与b的夹角为60°，则
A.10 B.23 C.4
7.已知某长方体的长、宽、高分别为2、2、1，且该长方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(????)
A.9π4 B.9π2 C.9π
8.在?ABC中，a=2bcosC，则?ABC的形状一定为(????)
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9.如图，为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内.在A点测得M、N的俯角分别为75°和30°，在B点测得M、N的俯角分别为45°和60°，AB=
A.3 B.2 C.5
10.在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PB=1，则PB?(PA
A.[?4,6] B.[?8,12] C.[?6,8] D.[?6,12]
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知a=(1,k)，b=(2,4)，a//b，则k=
12.已知复数z=a+i1?i(a∈R)为纯虚数，则a=??????????
13.在?ABC中，A=π6，b=2
①若c=3，则a=
②若?ABC有两个，则a的一个值可以为??????????．
14.如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA1=3.若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的三等分点(靠近
15.已知平面内三个向量OA，OB，OC满足OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，且
①若λ=μ=1，则射线OC平分∠AOB；
②若μ=1，则|OC|的最小值为
③若λ=?2,μ=?4，则△AOC面积是△AOB面积的4倍；
④若12≤λ≤1，λ+μ=2，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为
其中所有正确结论的序号是??????????．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知α、β都是锐角，sinα=45，
(1)求tan2α
(2)求sinα?β的值．
17.已知e1=(k?1,1)，e2=(2,?k)
(1)求k的值；
(2)设a=e1+e2，b=4e1+
18.在?ABC中，A=π4，a
(1)求b的值；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求?ABC的面积．
条件①：B=π
条件②：a=2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.在?ABC中，sin2A=sinA，
(1)求A；
(2)求?ABC周长的取值范围．
20.已知函数fx=2
(1)求fx
(2)若fx≤1在区间m,0上恒成立，求
(3)若fα=65，α∈
21.设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,?,tn),?t
(1)当n=3时，若β=(0,0,?1)，γ=(?1,0,?1)，求M(β,γ)和M(β,β)的值；
(2)当n=8时，若α=(0,0,0,0,0,0,0,0)，M(α,β)+M(α,γ)=?8，求M(β,γ)的最大值；
(3)给定不小于2的n，设B是集合A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素β和γ，都有M(β,γ)≤?n.求集合B中元素个数的最大值．
参考答案
1.D?
2.A?
3.B?
4.A?
5.D?
6.B?
7.C?
8.A?
9.C?
10.B?
11.2?
12.1?
13.1?；32(只需满足1a2
14.棱柱；8
15.①③④?
16.(1)因为sinα=45，且α
所以tanα=sinα
(2)因为cosβ=12，且β
所以sinα?β
17.(1)根据题意，e1
所以2k?1?k=0，得
(2)由(1)知e1=(1,1)，
e1
a?
a=
b=
所以cosθ=
18.(1)由余弦定理a2=b2+
又a2=b2+
(2)选择条件①：由正弦定理asinA=
又因为在?A