习题14.3R·八年级上册

1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证EB=FC.【教材P52习题14.3第1题】复习巩固证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.BD=CD，DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F.求证：FA平分∠DFE.【教材P52习题14.3第2题】

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°.在△ADB和△AEC中，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（AAS）.∴AD=AE.又AB⊥CE，AC⊥BD，∴FA平分∠DFE.

3.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC.求证∠1=∠2.【教材P52习题14.3第3题】

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.在△BDO和△CEO中，∠BDO=∠CEO，∠DOB=∠EOC，OB=OC，∴△BDO≌△CEO（AAS）.∴OD=OE.∴AO是∠BAC的平分线.∴∠1=∠2.

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在边AC上求作一点P，使点P到边BC和边AB的距离相等.【教材P52习题14.3第4题】解：如图所示.

5.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等.综合运用【教材P53习题14.3第5题】

证明：如图，过点D分别作DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为M，N.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.又PE∥AB，PF∥AC，∴∠3=∠1，∠4=∠2.∴∠3=∠4，即PD是∠EPF的平分线.∴DM=DN，即点D到PE和PF的距离相等.

6.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF=EF.【教材P53习题14.3第6题】

证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠OPD=∠OPE.

∴∠DPF=∠EPF（等角的补角相等）.PD=PE，∠DPF=∠EPF，PF=PF，∴△DPF≌△EPF（SAS）.∴DF=EF.在△DPF和△EPF中，

7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗？证明你的结论.拓广探索【教材P53习题14.3第7题】

解：AD⊥EF.证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD.又DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°.在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE=AF.

在△AEG和△AFG中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG，∴△AEG≌△AFG（SAS）.∴∠AGE=∠AGF.∵∠AGE+∠AGF=180°，∴∠AGE=∠AGF=90°，∴AD⊥EF.

8.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB.（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F.）【教材P53习题14.3第8题】

证明：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F.∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°，∴EF=CE.∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=BE.又EF⊥AD，∠B=90°，∴AE平分∠DAB.