第二十一讲从三角形内切圆谈起
和多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，这个多边形叫做圆外切多边形．三角形内切圆圆心叫做这个三角形内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
１.三角形内心是三角形三内角平分线交点，它到三角形三边距离相等；
２．圆外切四边形两组对边之和相等,其逆亦真,是鉴定四边形与否有外切圆重要措施.
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论下图形：
注:设Rt△ABC各边长分别为a、b、ｃ(斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径不一样体现式：
(1);
(2).
请读者给出证
【例题求解】
【例1】如图,在Ｒt△AＢC中,∠C=９0°°，BC＝５,⊙Ｏ与Rt△ABC三边AB、ＢC、AC分相切于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,若⊙O半径r＝２，则Rｔ△ＡBC周长为．
思绪点拨AＦ=AD,BE=BD，连OＥ、ＯF，则OEＣF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．
【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B）,过点P作半圆O切线分别交过A、B两点切线于D、C,ＡＣ、BD相交于Ｎ点，连结ON，NP，下列结论:①四边形ANPD是梯形；②ON=NＰ：③ＤP·ＰC为定值；④FA为∠NＰD平分线，其中一定成立是()
A．①②③B．②③④C．①③④D.①④
思绪点拨本例综合了切线性质、切线长定理、相似三角形，鉴定性质等重要几何知识,注意基本辅助线添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例关键．
【例3】如图,已知∠ACＰ=∠ＣDE=９0°,点Ｂ在CＥ上,CA＝CB＝ＣD，过A、C、D三点圆交AB于F，求证:F为△CＤＥ内心.
（初中数学联赛试题)
思绪点拨连CF、DF,即需证F为△CDE角平分线交点，充足运用与圆有关角，将问题转化为角相等问题证明.
【例4】如图，在直角梯形ABCD中，ＡＤ∥ＢC，AB⊥BＣ,ＡＢ=BC=1,以AＢ为直径作半圆O切CD于E,连结OE,并延长交AＤ延长线于F．
（1）问∠ＢＯＺ能否为１２０°,并简要阐明理由；
(2)证明△AＯF∽△EＤF，且；
(3)求DF长.
思绪点拨分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若∠ＢOZ=1２0°，看能否推出矛盾;(２)把计算与推理融合;（3)把对应线段用DF代数式体现，运用勾股定理建立有关ＤF一元二次方程.
注:如图，在直角梯形ＡBCD中,若AD+ＢC=ＣD,则可得到应用广泛两个性质:
(1)以边AＢ为直径圆与边CD相切；
(２)以边CD为直径圆与边AB相切．
类似地，三角形三条中线交点叫三角形重心,三角形三边高所在直线交点叫三角形垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形四心,它们处在三角而中特殊位置上,有着丰富性质，在解题中有广泛应用.
【例5】如图，已知Rt△ＡＢC中,ＣＤ是斜边AB上高,Ｏ、O1、Ｏ2分别是△ABＣ;△ACＤ、△BＣD角平分线交点，求证:(1)O１O⊥CＯ2;（2）OC=O1O２．
(武汉市选拔赛试题）
思绪点拨在直角三角形中，斜边上高将它提成两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，因此通过证交角为９０°措施得两线垂直，又运用全等三角形证明两线段相等.
学力训练
1.如图，已知圆外切等腰梯形ABCD中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCＤ周长等于=cm．
２.如图，在直角,坐标系中Ａ、B坐标分别为(3,0）、(0，4），则Rt△ＡBO内心坐标是.
3．如图,梯形ABCＤ中,AD∥BC，DC⊥BＣ，ＡB＝8，BC=5，若以AＢ为直径⊙Ｏ与DC相切于E，则DＣ＝．
４.如图，⊙O为△ABC内切圆,∠C=90°，ＡO延长线交BC于点D，AＣ＝4,CD=1，则⊙O半径等于()
Ａ．B．Ｃ.D.
5.如图，在梯形ＡＢＣD中，AD∥BC,∠BCD＝9０°,以CD为直径半圆O切AB于点E,这个梯形面积为21cm２,周长为20cm，那么半圆O