第二十六讲开放性问题评说
一种数学问题构成具有四个要素：题目条件、解题根据、解题措施、题目结论,假如题目所含四个要素是解题者已经懂得,或者结论虽未指明,但它是完全确定，这样问题就是封闭性数学问题.
开放性问题是相对于封闭性问题而言,从所展现问题方式看,有下列几种基本形式：
１.条件开放题
称条件不充足或没有确定已知条件开放性问题为条件开放题,解题时需执果寻因，根据结论和已经有已知条件,寻找使得结论成立其她条件．
2.结论开放题
称结论不确定或没有确定结论开放性问题为结论开放题,解题时需由因导果,由已知条件导出对应结论.
３．判断性开放题
称鉴定几何图形形状大小、图形位置关系、方程(组)解状况或鉴定具有某种性质数学对象与否存在开放题问题称为判断性开放题,解题基本思绪是：由已知条件及知识作出判断,然后加以证明.
【例题求解】
【例1】如图，⊙Ｏ与⊙O１外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点,AＢ与PＴ相交于点Ｐ,根据图中所给出已知条件及线段，请写出一种对的结论,并加以证明.
思绪点拨为了能写出更多对的结论,咱们可以从如下几分角度作探索,线段关系，角关系、三角形关系及由此推出对应结论.
注：明确规定将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年事情.开放性问题没有明确目的和解题方向，留有极大探索空间．
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【例2】如图，四边形ABCＤ是⊙O内接四边形，A是BD中点，过A点切线与CB延长线交于点E.
⌒(１）求证：AB·DA=CO
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(2)若点E在ＣB延长线上运动,点A在BＤ上运动,使切线ＥA变为割线EＦA，其她条件不变,问具有什么条件使原结论成立?(规定画出示意图,注明条件，不规定证明)
思绪点拨对于（2），能画出图形尽量画出图形,要使结论ＡB·ＤＡ=CD·BE成立,即要证△ABE∽△CＤA,已经有条件∠ＡＢE=∠ＣＤＡ，还需增长等角条件,这可由多种途径得到.
注:许多开放性问题解题思绪也是开放(多角度、多维度思索)，探索条件或结论并不惟一.故解开放性问题，应尽量深入探究，发散思维，提高思维品质,切忌入宝山而空返.
【例3】（1)如图1,若⊙Ｏ1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1与⊙Ｏ2外公切线,B、C为切点，求证：AＢ⊥AC．
(２）如图2,若⊙Ｏ1与⊙O2外离,BＣ是⊙O1与⊙O2外公切线，B、Ｃ为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、Ｎ,BＭ、ＣN延长线交于P，则BＰ与CP与否垂直?证明你结论.
(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，BC是⊙O１与⊙O2公切线,B、Ｃ为切点,连心线O1Ｏ2分别交⊙Ｏ1、⊙O２于M、N,Q是线段MN上一点，连结BQ、CＱ,则BQ与CQ与否垂直?证明你结论．
思绪点拨本例是在基本条件不变状况下,通过运动变化两圆位置而设计,在运动变化中，结论也许变化或不变，关键是把(1)证法类比运用到（2)、(３)问题中．
注:开放性问题尚有如下展现方式:
（1）先提出特殊状况进行研究,再规定归纳猜测和确定一般结论;
(2)先对某一给定条件和结论问题进行研究,再探讨变化条件时其结论应发生变化，或变化结论时其条件对应发生变化.
【例4】已知直线（0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上抛物线过A、C两点,且与轴交于另一点B．
(1)假如A、Ｂ两点到原点O距离AO、ＢO满足AO=3BO，点Ｂ到直线AC距离等于,求这条直线和抛物线解析式；
(2)与否存在这样抛物线,使得ｔan∠ACB=2，且△ABＣ外接圆截得轴所得弦长等于5?若存在，求出这样抛物线解析式;若不存在,请阐明理由.
思绪点拨(1)通过“点Ｂ到直线AC距离等于”，运用等积变换求出A、B两点距离;(２)先假设存在这样抛物线，再由条件推理计算求得,最终加以验证即可．
注:解存在性开放问题基本措施是假设求解法,即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾).
【例５】如图，这些等腰三角形与正三角形形状有差异，咱们把它与正三角形靠近程度称为“正度”.在研究“正度”时,应保证相似三角形“正度”相等．
设等腰三角形底和腰分别为、，底角和顶角分别为、．规定“正度”值是非负数．
同学甲认为:可用式子来体现“正度”，值越小,体