蜂巢探秘
唐·罗隐
不论平地与山尖，
无限风光尽被占。
采得百花成蜜后，
为谁辛苦为谁甜?
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中蟹民照
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ROMANIA
НРБЫ
你知道蜂巢为什么这么令人赞叹吗?
蜜蜂的聪明才智
公芹的花而公厅的化，需
成
蜂蜡
十、分儿公斤的大6
造
不
的
公元前3世纪，古希腊数学家就研究过，蜜蜂的
正六棱柱的巢是自然界最经济有效的形状，在相同条件下，这种形状容积最大。正六边形的建筑结构，密合度最高、所需材料最简、可使用空间最大，其致密
的结构，各方受力大小均等，且容易将受力分散，所
能承受的冲击也比其他结构大。
“蜂窝的优美形状，是自然
界最有效劳动的代表。”
——古希腊数学家佩波斯
蜂巢的外部
角形、正方形、正六边形，能各自铺成一平面。如果蜂巢呈圆
形等，会出现空隙，反而会浪费材料。
蜂巢的外部为什么是正六边形?怎么不选择圆形呢?这里
涉及到平面镶嵌问题。古埃及人早就知道，用大小相同的正三
公元前180年，古希腊数学家芝诺多罗斯证明：
(1)周长固定的n边形，以正n边形的面积最大，并且n越大，面积越大；
(2)周长固定时，圆面积大于所有正多边形。
当周长一定时，正六边形是面积最大，这就是聪明
的小蜜蜂不选择正三角形和正方形的原因!
因而使用同样材料可以比正三角形和正
方形具有更大的面积。”
——帕普斯《数学汇编》第5卷序言。
“蜜蜂凭着本能选择了正六边形，
6
二
山
中
i
-
蜂巢的内部
从蜂巢的表面看，两侧都是一个个正六边
形的中空柱状房室，背对背对称地排列着，六边形房室之间相互平行，每一间房室的距离都相等。每一个巢房的建筑，都是以中间为基础向两侧水平展开，从房室底部至开口处有13°的仰角，能够防止存蜜的流出。
打开蜂巢，里面的情况出乎人们的意料。
两侧的中空柱状房室是不相通的，其底部不是
平的，而是由三个全等的菱形组成的漏斗形状。同侧的三个中空柱状房室围在一起，形成另一侧中空柱状房室的底部。这样，两侧的中空柱状房室完美地结合在一起。
神奇的角度
这种蜂巢可能是在相同容积下所用材料最省的。
——法国物理学家雷奥米尔的猜测
给定正六角柱，底部由三个全等菱形组成，最省材料的做法是，菱形两邻角分别是109°26和70°34。
——瑞士数学家克尼格的计算结果
这种充满空间对称的蜂巢底部菱形的角应该和菱形十二面体中菱形的角的大小一样。 ——天文学家开普勒
这个菱形的一角为109°28,另一角为70°32。
——天文学家马拉尔第的测量结果
菱形两邻角分别是109°28和70°32。
——英国数学家马克劳林的计算结果
把正六棱柱的一角沿AB切下，然后沿AB翻转180°。按照同样
的方法对其余三个角进行操作，最后三个角堆在一起，形成蜂巢的尖顶。在这个过程中，无论DC多长，蜂巢的体积都不会变化。
尽管蜂巢体积没有变化，但是蜂巢壁的面积却受DC变化影响。
菱形的钝角一定要为
109°28吗?
下面我们用中学数学的知识进行解释。
这是从一个正六棱柱形成蜂巢的过程。
令f(x)=0,解
当x)时，f(x)0,f(x)单调递减，
当x时，f(x)0,f(x)单调递增，所以当时，f(x)取得最小值
此时，蜂巢壁的总面积最小，为
所以，
从而，∠ACB≈109°2816.
这就说明在蜂巢体积不变的情况下，巢壁面积最小时，蜂巢
底部菱形的钝角刚好为109°28’。
不妨设棱柱底边长为a,
高为h,DC长为x,要求蜂巢壁
面积的最小值，利用对称性，
只考虑图形的六分之一，即等
腰△CBC’和直角梯形EFBC的
面积之和最小即可。
设f(x)=√3a2+12x2-2x,x∈(0,h),
同时此时，在△ACB中，
,AB=√3a,
A
P
cY
a
E
BC=Va2+x2,
因为a和h为常数，所以只需要求(√3a2+12x2-2x)的最小值即可.
B
h
F
D~C
a
E
A
人类的超强学习力
建筑方面。生活中的一些建筑直接模仿了蜂巢的造型，这样的建筑不但看上去美观，
而且还可以多面采光，节约材料。
通信方面。人们从蜂巢的结构中受到启发，建立了形似蜂巢的无线电覆盖区域。
信号塔发射的无线电波覆盖区域是一个